Движение по криволинейной траектории. Прямолинейное и криволинейное движение

Плис В. О динамике криволинейного движения // Квант. -·2005. - №2. - С. 30-31, 34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Из школьного курса физики известно, что равномерное движение по окружности - так называют движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью - есть движение с ускорением.

Это ускорение обусловлено равномерным изменением с течением времени направления скорости точки. В любой момент времени вектор ускорения направлен к центру окружности, а его величина постоянна и равна

где υ - линейная скорость точки, R - радиус окружности, ω - угловая скорость радиуса-вектора точки, T - период обращения. В этом случае ускорение называют центростремительным, или нормальным, или радиальным.

Очевидно, что возможно криволинейное движение не только по окружности и не обязательно равномерное. Поговорим немного о кинематике произвольного криволинейного движения. Тем более что в прошлом году в программу вступительных экзаменов по физике, например в МГУ им. М.В.Ломоносова, включили вопрос об ускорении материальной точки при произвольном движении по криволинейной траектории.

Рассмотрим сначала неравномерное движение материальной точки по окружности. При таком движении изменяется со временем не только направление вектора скорости , но и его величина. В этом случае приращение вектора скорости за малое время от t до t + Δt удобно представить в виде суммы: (рис. 1). Здесь - касательная тангенциальная составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости и обусловленная приращением величины вектора скорости на , а - нормальная составляющая, обусловленная (как и в случае равномерного движения по окружности) вращением вектора скорости. Тогда естественно и ускорение представить в виде суммы касательной (тангенциальной) и нормальной составляющих:

Для проекций вектора ускорения на касательное и нормальное направления справедливы соотношения

Отметим, что касательная составляющая a τ ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости, а нормальная составляющая а n характеризует быстроту изменения направления скорости. По теореме Пифагора,

В случае движения по произвольной криволинейной траектории все указанные соотношения также справедливы, при этом в формуле для нормального ускорения а n под величиной R надо понимать радиус такой окружности, с элементарной дужкой которой совпадает участок криволинейной траектории в малой окрестности того места, где находится движущаяся материальная точка. Величину R называют радиусом кривизны траектории в данной точке.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач на криволинейное движение, предлагавшихся в последние годы на вступительных экзаменах и олимпиадах по физике в ведущих вузах страны.

Задача 1 . Камень брошен со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найдите радиус R кривизны траектории в окрестности точки старта. Ускорение свободного падения g известно.

Для ответа на вопрос задачи воспользуемся соотношением для нормального ускорения:

В малой окрестности точки старта υ = υ 0 (рис. 2). Нормальное ускорение а n есть проекция ускорения свободного падения g на нормаль к траектории: а n = g· cos α. Это дает

Задача 2 . Определите вес P тела массой m на географической широте φ. Ускорение, сообщаемое силой тяжести, равно g . Землю считайте однородным шаром радиусом R .

Напомним, что вес тела - это сила, обусловленная тяготением, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли. На него действуют сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила реакции опоры (рис.3). По третьему закону Ньютона, . Поэтому для определения веса тела найдем силу реакции .

В инерциальной системе отсчета, центр которой находится в центре Земли, тело равномерно движется по окружности радиусом r = R· cos φ с периодом одни сутки, т.е. T = 86400 с, и циклической частотой

7,3·10 –5 с –1 .

Ускорение тела по величине равно

а n = ω 2 ·r = ω 2 ·R· cos φ

и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции опоры тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда при 0 < φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠ φ. По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на радиальное направление:

и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит движение:

Исключая α из двух последних соотношений, находим вес тела, покоящегося на вращающейся Земле:

Задача 3 . Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Центавра равно L = 2,62·10 5 а.е. Наблюдаемое угловое расстояние между звездами периодически изменяется с периодом T = 80 лет и достигает наибольшего значения φ = 0,85·10 –5 рад. Определите суммарную массу М звезд. Постоянная всемирного тяготения G = 6,67·10 –11 (Н·м 2 /кг 2), 1 а.е = 1,5·10 11 м. Орбиты звезд считайте круговыми.

Под действием гравитационных сил

звезды движутся равномерно с периодом T по окружностям радиусов r 1 и r 2 вокруг центра масс системы со скоростями υ 1 и υ 2 соответственно (рис. 4).

По второму закону Ньютона,

Сложив эти равенства (после сокращения на m 1 и m 2 соответственно), получим

Отсюда с учетом соотношений

приходим к ответу

= 3,5 10 27 кг.

Задача 4 . На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис. 5). В сосуде закреплен тонкий стержень АВ , наклоненный к горизонту под углом α. Однородный шарик радиусом R может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика ρ 0 , плотность воды ρ, ρ 0 < ρ. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец А стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии L от этого конца. С какой по величине силой F шарик действует на стержень? Какова угловая скорость ω вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости ω min шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?

Обозначим объем шарика V . На шарик будут действовать три силы: сила тяжести ρ 0 ·V ·g , сила нормальной реакции N со стороны стержня (шарик действует на стержень с такой же по величине и противоположной по направлению силой) и сила Архимеда F A . Найдем архимедову силу.

Рассмотрим движение жидкости в отсутствие шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности радиусом r в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая сообщает этой жидкости центростремительное ускорение а n = ω 2 ·r. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются, а сила, действующая на водяной шарик со стороны тонкого стержня, равна нулю. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда по величине равна силе тяжести водяного шара:

F A z = ρ·V ·g ,

а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда сообщает водяному шару центростремительное ускорение а n = ω 2 ·L ·cos α и по величине равна

F A n = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α.

Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом L ·cos α в горизонтальной плоскости (рис. 6).

По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на вертикальную ось, находим

ρ·V ·g – ρ 0 ·V ·g – N ·cos α = 0.

Проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем

ρ 0 ·V ·ω 2 ·L ·cos α = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α – N ·sin α.

Из двух последних соотношений определяем величину силы нормальной реакции стержня, а значит, и силу давления шарика на стержень:

и угловую скорость:

Как видим, с ростом угловой скорости ω расстояние L уменьшается. В момент, когда шар приблизится ко дну, , при этом

Задача 5 . Однородную цепочку длиной L R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением a t будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки ρ. Ускорение свободного падения g .

Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной ΔL = R ·Δφ (рис. 7). Его масса равна Δm = ρ·ΔL . Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем

Перепишем полученное соотношение в виде

Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:

Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. , что ускорение a τ одинаково у всех элементарных фрагментов, , и получим

Задача 6 . Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии R /2 от оси, где R - радиус колеса. При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость υ 1 паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги. Коэффициент трения скольжения ящика по штанге μ = 0,4, радиус колеса R = 0,8 м, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .

Перейдем в систему отсчета, связанную с паровозом (рис. 8). Поскольку разгон происходит очень медленно, эту систему можно считать инерциальной.

До начала проскальзывания ящик движется по окружности радиусом r = R /2. По второму закону Ньютона,

Вектор ускорения ящика направлен к центру окружности и по величине равен а = ω 2 ·r ,где ω - угловая скорость вращения колес паровоза. Обозначим угол, который вектор ускорения образует в данный момент времени с горизонтом, буквой β. Переходя к проекциям сил и ускорения на горизонтальную и вертикальную оси, с учетом того, что F тр ≤ μ·N , получаем

Исключив отсюда силу реакции опоры, приходим к неравенству

Наибольшее значение выражения

где угол α таков, что и ,достигается при β = α и равно . Движение груза будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угловая скорость вращения колес паровоза будет удовлетворять неравенству

Отсюда для искомой скорости паровоза υ 1 получаем

= 2,4 м/с.

Задача 7 . Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ и дуги окружности BD радиусом R = 5 м (рис. 9). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью υ 0 = 10 м/с. Определите величину ускорения шайбы в точке С и угол β, который вектор ускорения шайбы в этот момент составляет с нитью. Радиус ОС образует с вертикалью угол α = 60°. Ускорение свободного падения g =10 м/с 2 .

Для нахождения ускорения шайбы в точке С найдем тангенциальную a τ и нормальную a n величины составляющих ускорения в этой точке.

На тело, движущееся в вертикальной плоскости по дуге BD ,в любой точке действуют силы тяжести m· g и реакции опоры N . По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление:

m· a τ = –m· g ·sin α, откуда a τ = –g ·sin α ≈ –8,7 м/с 2 .

Для определения нормальной составляющей ускорения найдем величину υскорости шайбы в точке С (поскольку ). Обратимся к энергетическим соображениям. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части желоба будем считать равной нулю. Тогда, по закону сохранения полной механической энергии,

= 10 м/с 2 .

Величину ускорения шайбы в точке С найдем по теореме Пифагора:

≈ 13,2 м/с 2 .

В точке С вектор ускорения образует с нитью угол β такой, что

≈ 0,87, откуда β ≈ 41°.

Задача 8 . По гладкой проволочной винтовой линии радиусом R с шагом h , ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой m . За какое время T бусинка опустится по вертикали на Н ? С какой по величине F силой бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения g .

На бусинку действуют силы тяжести и нормальной реакции , где направлена горизонтально (перпендикулярно плоскости рисунка 10), а лежит в одной плоскости с векторами и .

Для ответа на вопросы задачи найдем касательную и нормальную составляющие ускорения. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорения на касательное направление, находим a τ = g ·sin α. Здесь α - угол наклона вектора скорости к горизонту такой, что

По закону сохранения энергии,

Касательная составляющая ускорения постоянна, начальная скорость равна нулю, следовательно, модуль вектора скорости растет со временем по линейному закону. Отсюда для искомого времени получаем

Для определения нормальной составляющей ускорения перейдем в подвижную систему отсчета, поступательно движущуюся относительно лаборатории по вертикали вниз со скоростью υ· sin α. В этой системе бусинка ускоренно движется по окружности радиусом R со скоростью υ· cos α, при этом нормальная составляющая ускорения бусинки по величине равна . Так как ускорение подвижной системы сонаправлено с , нормальная составляющая ускорения бусинки при переходе в лабораторную систему отсчета не изменится (это следует из правила сложения ускорений).

Из второго закона Ньютона находим составляющие силы, с которой проволока действует на бусинку:

где .

По третьему закону Ньютона бусинка действует на проволоку силой, величина (модуль) которой равна

Упражнения

1. Сферический воздушный шар радиусом R = 5 м удерживается вертикальной веревкой, его центр находится на высоте H = 6 м над горизонтальной поверхностью. С этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью υ 0 следует бросать камень и на каком расстоянии s от центра шара будет находиться в этом случае точка бросания?

Указание: ускорение свободного падения у поверхности Земли в этой и последующих задачах равно g = 10 м/с 2 .

2. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой h = 3,610 4 км, обращается вокруг Земли за одни сутки и может «висеть» над одной и той же точкой экватора. Допустим, что обсуждается вопрос о запуске на такую же высоту спутника, который будет «висеть» над Санкт-Петербургом. Какую по величине и направлению силу тяги F должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника m = 10 3 кг, Санкт-Петербург находится на широте φ = 60°, радиус Земли R = 6,4 10 3 км.

3. По гладкому столу движутся два тела с массами m 1 и m 2 ,соединенные легкой нерастяжимой нитью длиной L .В некоторый момент первое тело останавливается, а скорость второго равна υи перпендикулярна нити. Найдите силу T натяжения нити.

4. Однородную цепочку массой m и длиной L поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом R = 4L так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. Найдите наибольшую величину T mах силы натяжения цепочки сразу после ее освобождения. Указание : для рассматриваемых в задаче углов считайте sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α 2 /2.

5. В задаче 6 из текста статьи найдите скорость υ 2 , при которой ящик начнет подпрыгивать.

Рассмотрим движение тела по произвольной криволинейной траектории. Выше мы уже отмечали, что при движении тела по криволинейной траектории вектор его скорости в любой точке направлен по касательной к траектории. На рисунке показано, почему это так. Средняя скорость равна . Это значит, что направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением перемещения Δr . Но если мы будем приближать конечную точку к начальной, делая промежуток времени Δt все меньше, то, как видно из рисунка, направление вектора Δr будет приближаться к направлению касательной к траектории в начальной точке и в пределе сольется с ней. Но в этом пределе средняя скорость перейдет в мгновенную скорость.

В отличие от скорости, ускорение при движении тела по криволинейной траектории почти никогда не бывает направлено по касательной к траектории. Так как , то направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости. Как видно из рисунка, вектор изменения скорости, а, значит, и ускорение направлены внутрь кривизны траектории. В общем случае угол между векторами скорости и ускорения может изменяться от 0 до 180°.

Очень часто ускорение тела при движении по криволинейной траектории раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие: на направление касательной к траектории и на направление перпендикулярное касательной. Составляющая вектора полного ускорения на направление касательной к траектории называется тангенциальным или касательным ускорением (а τ ). Составляющая вектора полного ускорения на направление перпендикулярное касательной называется центростремительным или нормальным ускорением (а ц ).

Если α – угол между направлениями ускорения и скорости, то можно написать:

Кроме того:

Разделение ускорения на две составляющие связано с тем, что каждая составляющая полного ускорения характеризует изменение скорости по одному из двух параметров. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Тангенциальное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости, если скорость по величине возрастает и направлено противоположно скорости, если она убывает. При движении с постоянной по величине скоростью тангенциальное ускорение равно нулю. Модуль тангенциального ускорения равен:

Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. При движении по прямолинейной траектории центростремительное ускорение равно нулю.

Важным частным случаем движения по криволинейной траектории является движение по окружности. Дело в том, что любую плавную кривую линию можно заменить совокупностью сопряженных дуг окружностей разного радиуса. Пусть имеется некоторая кривая линия. В каждой точке кривой можно провести множество окружностей, касающихся ее в этой точке. Но среди всех этих окружностей имеется одна, которая лучше других описывает кривизну кривой в данной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны линии в этой точке. Таким образом, движение тела по произвольной криволинейной траектории можно представить как последовательное движение по окружностям разного радиуса.

Пусть тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим две очень близкие точки траектории А и В. Так как точки очень близки друг к другу, то можно считать, что они лежат на дуге окружности с радиусом равным радиусу кривизны траектории в данной части траектории - R. Предположим, что скорость тела по величине постоянна. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение тела равно центростремительному. Треугольник, построенный на векторах v A , v B и Δv равнобедренный и подобен треугольнику АОВ. Значит можно написать:

Пусть Δt – время, за которое тело перешло из точки А в точку В. Так как точки А и В расположены очень близко друг к другу (на рисунке для наглядности они расположены далеко друг от друга), то хорда АВ практически совпадает с дугой АВ. Поэтому можно написать: . А значит получаем:

Так как тангенциальное ускорение равно нулю, то представляет собой центростремительное ускорение. Таким образом получаем формулу для центростремительного ускорения при движении тела по криволинейной траектории:

Здесь v – мгновенная скорость тела, а R – радиус кривизны траектории в данной точке.

В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение

Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).

Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении

Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.

Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Вывод

Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.

Транскрипт

1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ УПИ от г. Екатеринбург УГТУ УПИ 009

3 УДК (075.8) Составители: Г.С. Новикова Научный редактор доцент, канд. физ.-мат. наук Дружинина Т.В. Динамика материальной точки. Криволинейное движение: сборник заданий для самостоятельной работы по курсу «Теоретическая механика»/ сост. Г.С. Новикова. Екатеринбург: УГТУ УПИ, с. Сборник предназначен для выдачи домашних заданий, расчетнографических и контрольных работ для студентов всех специальностей и всех форм обучения. Рис. 30 Подготовлено кафедрой теоретической механики Уральский государственный технический университет УПИ, 009

4 ВВЕДЕНИЕ Сборник содержит 30 задач по теме «Динамика материальной точки. Криволинейное движение». Предполагается, что он будет использоваться студентами при выполнении индивидуальных расчетных заданий, предусмотренных типовой программой курса «Теоретическая механика». В задачах заданные силы предполагаются линейными функциями координат точки, её абсолютной или относительной скорости. Поэтому дифференциальные уравнения будут линейными и имеют аналитическое решение. При решении возможно использование вычислительной техники как для численного интегрирования уравнений движения, так и для построения графиков движения и траектории при аналитическом решении систем уравнений. Указания к выполнению заданий При работе над задачей необходимо построить расчетную механическую модель, заменив заданное тело материальной точкой, показать на рисунке для произвольного положения M (x, y) действующие силы и записать в векторной форме уравнение движения. Действующие упругие силы и силы сопротивления выразить через радиус-вектор r (x, y) и абсолютную скорость точки ν r (x, y). Затем составить дифференциальные уравнения движения в проекциях на выбранные оси координат. Проинтегрировав уравнения аналитически или численно, получаем решения x (t), y(t). В большинстве задач решение имеет характер затухающих колебаний. Найти период Т и декремент D этих колебаний. Построение графиков движения x (t), y(t) провести по точкам на участке одного периода (если периоды для решений различные, то взять наибольший) с шагом, например, T / 4. Для численного интегрирования принять шаг h = T / 40. Для продолжения построения на весь период переходного режима на установившееся движение можно использовать Т и D. Время переходного режима можно оценить примерно по формуле 3 τ = 3 / n, где n = μ / m. При «ус-

5 ложнении» задач рекомендуется силы сопротивления считать пропорциональными квадрату скорости 0 R = μν ν, где ν = ν / ν 0 единичный вектор, ν и \ν вектор и модуль скорости. В вариантах 4, 5, 10, 14, 3, 5, 7 силу сопротивления принять в виде 1 x μ y R = μ V i V j. Пример решения задачи Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна m, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию до этого центра. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна μ m ; в момент t = 0: M O = x = a x& = 0; y = 0; y& 0, 0 0 ; = причем ось y направлена по вертикали вниз (см. рисунок). Согласно второму закону Ньютона m a = P + F, где F = μ m OM. В проекциях на оси координат получим m & x = μ m OM sin α ; где x = OM sin α, y = OM cosα. m & y = mg μ m OM cosα, Тогда m& x = μ mx, m& y = mg μ my. Окончательно дифференциальные уравнения движения будут иметь вид 4

6 && x = μ x, && y = g μ y. Решение первого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка & x& + μ x = 0 ищем в зависимости от вида корней характеристического уравнения, для чего в уравнении подставляем x = e и получаем характеристическое уравнение λt λ + μ = 0, откуда λ = ± i.. 1, μ Так как корни характеристического уравнения мнимые и различные, решением уравнения будет x = c1 coskt + c sin kt. Для определения постоянных интегрирования c 1 и c определим скорость x & = c1k sin kt + ck coskt. Решение второго неоднородного дифференциального уравнения с постоянной правой частью & y μ y = g = будет складываться из общего решения однородного уравнения & y& + μ y 0 и g частного решения неоднородного & y + μ y =, то есть y = A & y 0, тогда μ A = g, A = g. μ Полное решение y = y 1 + y: y = c 1 coskt + c g sin kt + μ., = Скорость y & = c1k sin kt + ck coskt. Согласно начальным условиям: y =, y& 0 из этих уравнений получим c g = 1 = ; c = μ 0. 5

7 Тогда закон движения точки в проекции на ось у будет g y = (1 coskt). μ Окончательно закон движения материальной точки в проекциях на оси координат будет x = acoskt, g y = (1 coskt). μ Исключив из этих уравнений время t, получим траекторию точки: отрезок прямой g x g y = 1 ; a x a; 0 y. μ a μ 6

8 Задача 1. Вагонетка подвесной дороги массы m поднимается заданной силой Q. Трос упругий, силу упругости его считать пропорциональной поперечной деформации скорости AM. Сопротивление среды пропорционально. Прямая OO 1 определяет точки, где поперечная деформация троса равна нулю. Движение вагонетки началось из точки O, начальная скорость указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки. Построить графики движения и траекторию. Дано: µ = 1,4 10³ Н c/м; α = 30 ; Q = 7 10³ Н; = 1,8 м/c; m = 1,3 10³ кг; c = 1 10³ Н/м. Задача. Аэростат, имеющий массу m, буксируется с постоянной скоростью V A. Разность архимедовой силы и веса его направлена вертикально вверх и равна 0,1mg. Трос упругий, силу упругости считать пропорциональной расстоянию AM, AM. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. В начальный момент времени скорость аэростата вертикальна, точка А находилась в начале координат. Принять AM = 0. Найти уравнения движения аэростата. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0,8 10³ кг; = 0,9 м/c. O V A = 5 м/с; с = 1,1 10³ Н/м; µ = 0,8 10³ Н c/м; 7

9 Задача 3. Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через неподвижное гладкое кольцо О; к свободному концу её прикреплен шарик М, масса которого m. Длина невытянутой нити l = АО. Коэффициент жесткости нити с. Вытянув нить по вертикали вдвое, сообщили шарику начальную горизонтальную скорость. При движении на шарик действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения шарика. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0, кг; с = 0 Н/м; µ = 0,8 Н c/м; = 0 м/c; l = 1м. Задача 4. Платформа массы m на воздушной подушке разгоняется постоянной силой Q. Упругие силы реализуется силами системы воздушной подушки. Считать эквивалентную упругую силу, пропорциональной вертикальному отклонении AM. Прямая OA соответствует уровню, где F = 0. Силы вязкого сопротивления в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости, коэффициенты пропорциональности равны µ 1 и µ. Начальная скорость платформы указана на рисунке. Найти уравнения движения платформы. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; Q = 4, Н; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; = 0,7 м/c. 8

10 Задача 5. Груз М массы m буксируется с заданной постоянной скоростью V A. Трос упругий, силу упругости его считать пропорциональной продольной деформации F1 = c1 AM. Амортизаторы создают упругую силу, пропорциональную вертикальному отклонению от недеформированного состояния BM. Силы сопротивления среды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости. Коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ, начальная скорость вертикальна. Найти уравнения движения. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4, м/c; с 1 = 3, Н/м; с = 1, 10 5 Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = Н c/м; V м (О) = 1,6 м/c; B 0 M 0 = 1,5 м; OB 0 = 0; OA 0 = 0,4 м. Задача 6. К концу горизонтально натянутой упругой нити AM, закрепленной в точке A и проходящей через неподвижное гладкое кольцо O, привязан груз М массы m. В начальный момент нить растянута на величину OM 0 и груз отпущен без начальной скорости. Сила упругости пропорциональна удлинению. Коэффициент пропорциональности равен с. Длина недеформированной нити l = AO. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0,6 кг; с = 15 Н/м; µ =,4 Н c/м; l = 1 м; OM 0 = 0,8 м. 9

11 Задача 7. Груз массы m подвешен на упругом тросе, сила упругости которого пропорциональна продольной деформации = c OM. На него действует постоянная сила Q, направленная под углом α к горизонту. Сила вязкого сопротивления движению пропорциональна скорости F. Найти уравнения движения груза, если в начальный момент его скорость горизонтальна, трос был вертикальным, OM 0 начальная деформация троса. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1,5 10 кг; с = 1, Н/м; µ =,6 10 Н c/м; α = 30 ; Q =,8 10 Н; =, м/c; OM 0 = 0,8 м. Задача 8. Понтон массы m, находящийся в потоке жидкости, удерживается упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации F1 = c1 AM. Скорость потока U указана на рисунке. Архимедова сила пропорциональна величине погружения BM, Сила вязкого сопротивления пропорциональна относительной скорости отн. Найти уравнения движения понтона, если начальная скорость его вертикальна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с 1 = Н/м; с = 4, Н/м; µ = 4, Н c/м; U =,6 м/c; = 0,3 м/c; AM 0 = 1 м; BM 0 = 0. 10

12 Задача 9. Вагонетка подвесной дороги массы m свободно опускается по тросу. Трос упругий, силу упругости считать пропорциональной поперечной деформации AM. Сопротивление среды пропорционально скорости. Прямая OO 1 определяет точки, где поперечная деформация троса равна нулю. Движение вагонетки началось из точки O, начальная скорость указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 5 10 кг; с = 6, Н/м; µ = 4,3 10 Н c/м; α = 10 ; = 1,8 м/c. Задача 10. Дирижабль массы m находится в воздушном потоке, скорость которого U. Трос, который удерживает дирижабль у причальной мачты, упругий, сила упругости пропорциональна продольной деформации OM. Разность архимедо-вой силы и веса направлена вертикально вверх, и равна 0,mg. Силы вязкого сопротивления в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной скорости. Коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. В начальный момент скорость дирижабля. Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; µ 1 = 5, Н c/м; µ = 1, Н c/м; U = 5 м/c; = 1,7 м/c; OM 0= 0,5 м; OM 0 U. 11

13 Задача 11. Катер массы m разгоняется горизонтальной постоянной силой. При этом, имея начальную скорость погружения в воду, он совершает колебания под действием архимедовой силы, пропорциональной глубине погружаемой части катера AM. На катер действует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения катера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1, кг; с = 4, Н/м; µ = 1, Н c/м; Q = 3, Н; = 1,3 м/c; точка A проекция центра масс катера на поверхность воды. Задача 1. Подводный аппарат массы m буксируется с заданной скоростью V. Буксировочный трос упругий, сила упругости A AM продольная деформация. Разность архимедовой силы и веса аппарата равна 0,3mg и направлена вертикально вниз. Сила сопротивления среды. Найти уравнения движения аппарата, если его F = c AM, где начальная скорость вертикальна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 5, кг; V A = м/c; с = Н/м; µ = 5, Н c/м; = 0,6 м/c; при t = 0 аппарат находится под буксиром на глубине 0,5 м. 1

14 Задача 13. Висящий на тросе груз массы m с боковыми амортизаторами совершает свободные колебания под действием силы упругости троса F1 = c1 OM (OM продольная деформация) и сил упругости амортизаторов, равнодействующую которых можно считать горизонтальной и пропорциональной горизонтальному отклонению от недеформированного состояния пружин: F x = c x. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. Найти уравнения движения груза, если начальная скорость его горизонтальна, трос OM 0 вертикален. Построить графики движения и траекторию. Дано: m =, кг; с 1 = Н/м; с = Н/м; BM 0 = 0,0 м; µ = 8, Н c/м; = 0,9 м/c; OM 0 = 0, м. Задача 14. Буер массы m разгоняется ветром, скорость которого U постоянна. Ледовую поверхность, по которой скользит буер, считать упругой. Сила упругости пропорциональна поперечной деформаций AM. Силы вязкого трения в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны составляющим относительной скорости буера по этим направлениям, коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. Прямая OO 1 указывает положения буера, где F = 0. Начальная скорость буера направлена вертикально вниз. Найти уравнения движения буера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 3,5 10 кг; с = 7, Н/м; µ 1 = Н c/м; µ =,1 10 Н c/м; = 1,4 м/c; U = 5 м/c. 13

15 Задача 15. Висящий на упругом тросе груз массы m находится в потоке жидкости, движущейся с постоянной скоростью U. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации OM. Разность веса груза и архимедовой силы направлена вертикально вниз и равна Q = 0, 8mg. Сила вязкого трения пропорциональна относительной скорости груза R μv = отн. В начальный момент груз был в равновесном положении и получил начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U = 8 м/c; с = 1, Н/м; µ = 1, Н c/м; α = 30 ; = 1, м/c. Задача 16. Баржа массы m буксируется с заданной горизонтальной скоростью V A в потоке жидкости, имеющем скорость U. Выталкивающая сила со стороны воды пропорциональна глубине погружения, коэффициент пропорциональности c 1. Сила упругости троса пропорциональна его продольной деформации AM. Сила сопротив-ления воды пропорциональна относительной скорости отн. Начальная скорость указана на рисунке. За начало координат принять начальное положение точки А, считать AM 0 = 0. Найти уравнения движения баржи. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4 м/c; U = 3 м/c; с 1 =, Н/м; с = 6, 10 5 Н/м; µ = Н c/м; α = 30 ; = 0,7 м/c. А 14

16 Задача 17. Тело массы m, брошенное с начальной скоростью под углом α к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости. Найти уравнения движения тела, наибольшую высоту подъема, расстояние по горизонтали, когда эта высота будет достигнута, дальность полета. Построить графики движения и траекторию тела. Дано: m = 5 кг; = 0 м/c; α = 60 ; µ = 0,3 Н c/м. Задача 18. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, поднимается краном с постоянной скоростью V A. Сила упругости троса пропорциональна продоль-ной деформации AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости груза. Начальная скорость горизонтальна, трос был вертикален, A0M 0 начальная деформация. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = м/c; с = 6, 10 4 Н/м; µ = 4, Н c/м; = 1,3 м/c; A 0M = 0,5 м. 0 15

17 Задача 19. Альпинист массы m спускается по упругому канату, который в ненагруженном состоянии совпадает с прямой OO 1, составляющей угол α с горизонтом. Силу упругости каната считать пропорциональной поперечной деформации AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. Начальная скорость показана на рисунке. Найти уравнения движения альпиниста. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 80 кг; α = 15 ; с = 6,5 10 = 1,5 м/c. Н/м; AM 0 = 0; µ = 75 Н c/м; Задача 0. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается краном с постоянной горизонтальной скоростью пропорциональна продольной его деформации V. Сила упругости троса A AM. Движение происходит в среде, движущейся с постоянной скоростью U. Сила сопротивления среды пропорциональна относительной скорости груза = отн. В начальный момент времени скорость груза R μv была горизонтальна, трос вертикален, A 0M 0 =1 м. Начальное положение точки А принять за начало координат. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A =,5 м/c; с = 5, Н/м; U = 3,3 м/c; µ = 6, Н c/м; = 1,4 м/c. 16

18 Задача 1. Буй массы m удерживается в жидкости упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации OM. На буй действует постоянная по модулю сила Q, направленная под углом α к горизонту. Разность архимедовой силы и веса буя равна 0,5mg и направлена вертикально вверх (положительная плавучесть). При движении буя на него действует сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения буя, если в начальный момент его скорость вертикальна и направлена вверх, трос был вертикальным и OM 0 = 0, 1 м. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1, 10 кг; c = 6, 10 3 Н/м; = 0,7 м/c; Q = 4, 10 ; α = 40 ; µ = 3,8 10 Н c/м. Задача. В лодку массы m 1, привязанную к берегу упругим тросом, запрыгивает человек массы m, при этом лодка получает начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Начальная деформация троса равна нулю. Коэффициент жесткости троса с 1. Архимедова сила, действующая на лодку при ее колебаниях, пропорциональна глубине погружения. Коэффициент пропорциональности с. Сила вязкого сопротивления зависит от скорости по линейному закону. Найти уравнения движения лодки с человеком. Построить графики движения и траекторию. Дано: m 1 = 60 кг; m = 80 кг; = 5 м/c; α = 15 ; с 1 = 500 Н/м; с = Н/м; µ = 1,8 10 Н c/м. 17

19 Задача 3. Судно массы m свободно дрейфует в потоке, скорость которого постоянна и равна U. Действующую на судно архимедову силу считать пропорциональной глубине погружения с коэффициентом пропорциональности c. Силы вязкого сопротивления движению в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной скорости, коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. В начальный момент судно имело скорость. Найти уравнения движения судна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U =,5 м/c; c = 6, Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, 10 5 Н c/м; =,3 м/c. Задача 4. Груз массы m скользит по упругой ленте транспортера. ненагруженном состоянии лента занимает положение OO 1, составляющее угол α с горизонтом. В некоторый момент времени груз падает на ленту (в точке О) со скоростью, перпендикулярной ленте. Силу трения груза о ленту считать В пропорциональной его скорости. Сила поперечной упругости ленты пропорциональна её прогибу AM. На груз действует также постоянная сила Q, параллельная OO 1 и тормозящая движение. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 60 кг; α = 15 ; = 1,5 м/c; µ = 80 Н c/м; c = 7, 10 Н/м; Q = 45 Н. 18

20 Задача 5. Дирижабль массы m буксируется с заданной скоростью Буксировочный трос упругий, силу упругости считать пропорциональной продольной деформации V A. AM, Разность архимедовой силы и веса дирижабля равна 0,15 mg и направлена вертикально вверх. Силы сопротивления воздуха в горизонтальном и вертикальном направлениях считать пропорциональными соответствующим составляющим скорости дирижабля. Коэффициенты пропорциональности равны μ и 1 μ. В начале буксировки дирижабль получил начальную скорость и AM 0. Начальное положение точки A 0 = принять за начало координат. Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 3 м/c; c = Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = 8, 10 4 Н c/м; = 0,9 м/c. Задача 6. На дне резервуара находится груз массы m, привязанный эластичным шнуром, коэффициент жесткости которого c. В некоторый момент времени груз подцепили и стали вытаскивать с постоянной силой Q под углом α к горизонту. Отрицательная плавучесть (разница между весом и архимедовой силой) направлена вниз и равна N = 0, 5G, где G вес груза. Вязкое трение воды пропорционально скорости груза и определяется по формуле В момент зацепления груз касался блока О, шнур был не деформирован, а груз получил начальную горизонтальную скорость. Найти уравнения движения груза.. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 50 кг; c = 00 Н/м; µ = 100 Н c/м; Q = 100 Н; α = 30 ; = 8 м/c. 19

21 Задача 7. Судно массы m буксируется с постоянной горизонтальной скоростью V A. Буксировочный трос упругий, силу упругости считать пропорциональной продольной деформации F = c1 AM. В начальный момент судно касалось буксира, трос не имел деформации, и начальная скорость была направлена вертикально вниз. Архимедову силу считать пропорциональной глубине погружения судна, коэффициент пропорциональности равен с. Силы сопротивления воды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости, μ 1 и μ коэффициенты пропорциональности. Найти уравнения движения судна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4,5 м/c; c 1 = 0, Н/м; c = 1, Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; =,3 м/c. Задача 8. Катер массы m движется против течения при отключенных двигателях, имея начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Скорость течения U постоянна. Архимедова сила пропорциональна высоте погружения, коэффициент пропорциональности равен c. Со стороны воды катер испытывает сопротивление, пропорциональное относительной скорости отн. Найти уравнения движения катера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 50 кг; α = 10 ; = 3 м/c; µ = 1,7 10 Н c/м; c =, Н/м; U = 5 м/c. 0

22 Задача 9. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается подъемным краном с постоянной скоростью V A направленной под углом α к горизонту. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации F = c AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. В начальный момент времени скорость груза горизонтальна, трос был вертикален, A 0M 0 начальная деформация троса. Начало координат взять в начальном положении точки A. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 500 кг; V A = 3 м/c; α = 30 ; с = 8, Н/м; = 1,8 м/c; µ = 9 10 Н c/м; A 0 M 0 = 0, м. Задача 30. Понтон массы m удерживается в потоке, скорость которого U, упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации F1 = c1 OM. Архимедова сила пропорциональна глубине погружения понтона, коэффициент пропорциональности с. Cо стороны жидкости на понтон действует сила вязкого сопротивления, пропорциональная относительной скорости отн. В начальный момент времени понтон касался блока (OM 0 = 0) и имел скорость, направленную по вертикали. Найти уравнения движения понтона. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U = м/c; c 1 = 8, µ = 3, Н c/м; =,1 м/c. Н/м; c = 9, 10 4 Н/м; 1

23 Динамика материальной точки. Криволинейное движение Редактор О.С. Смирнова Компьютерная верстка И.И. Иванов Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ Редакционно-издательский отдел УГТУ УПИ 6006, Екатеринбург, ул. Мира, 19 Ризография НИЧ УГТУ УПИ 6006, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мехатроника» Г. В. Васильева В. С. Тарасян ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ СВОБОДНЫЕ

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Г.Б. Потапова, К.В. Худяков СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Условия и решения задач II олимпиады Мордовского государственного университета по теоретической механике (2013 2014 учебный год) 1. Груз втягивают вверх по шероховатой поверхности, наклоненной под углом

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Алтайский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ Д-I Тема: Вторая основная задача динамики точки и метод кинетостатики (принцип Германа-Эйлера- Даламбера). ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. К задаче 1-ой: а) расставить силы, действующие на материальную точку

Тесты по теоретической механике 1: Какое или какие из нижеприведенных утверждений не справедливы? I. Система отсчета включает в себя тело отсчета и связанную с ним систему координат и выбранный способ

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Выдержки из книги Горбатого ИН «Механика» 3 Работа Мощность Кинетическая энергия Рассмотрим частицу которая под действием постоянной силы F r совершает перемещение l r Работой силы F r на перемещении l

Объяснение явлений 1. На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Выберите два верных утверждения, описывающих движение в соответствии с данным

3 Законы сохранения в механике Основные законы и формулы Второй закон Ньютона ma = F может быть представлен в виде: m υ = F t, те изменение импульса тела (p = m υ = mυ mυ) равняется импульсу n равнодействующей

Физика. 9 класс. Тренинг «Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике» 1 Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике Вариант 1 1 Металлический брусок подвешен к пружине и целиком погружён в сосуд с водой, находясь

Задания А5 по физике 1. Тело втаскивают вверх по шероховатой наклонной плоскости. Какая из изображенных на рисунке сил совершает положительную работу? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 2. На рисунке показан график зависимости

Лекция 1. Сергей Евгеньевич Муравьев кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ Мы начинаем! 1. Победители и призеры олимпиад должны набрать 75 баллов ЕГЭ!.

Методические материалы по теме «Механические явления»- 9 класс Часть 1 1. Автомобиль начинает движение по прямой из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с 2. За какое время он приобретёт скорость 20 м/с?

«ОСНОВЫ ДИНАМИКИ» Законы Ньютона: Первый: Существуют системы отсчета называемые инерциальными, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного

Занятие 11 Итоговый 2. Механика. Задача 1 На рисунке представлен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. Определите интервал времени после начала движения, когда велосипедист двигался со

Дифференциальное уравнение движения точки Задача D2.1. 1 Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге при скорости v 0 составляет S. Чему равен тормозной путь этого автомобиля при той же скорости

00-0 уч. год., кл. Физика. Основные законы механики.. Динамика В динамике механическое движение изучается в связи с причинами, вызывающими тот или иной его характер. В инерциальных системах отсчёта этими

Примеры заданий из базы заданий дистанционного отборочного тура олимпиады «Росатом», 11 класс База заданий дистанционного отборочного тура олимпиады «Росатом» (который проводится только для школьников

Установление соответствия, часть 2 1. русок, находящийся на шероховатой горизонтальной поверхности, начинает двигаться равноускоренно под действием силы В системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью,

КИНЕМТИК задания типа В Стр. 1 из 5 1. Тело начало движение вдоль оси OX из точки x = 0 с начальной скоростью v0х = 10 м/с и с постоянным ускорением a х = 1 м/c 2. Как будут меняться физические величины,

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 2018-2019 Физика, I тур, вариант 1 7 класс 1. (30 баллов) Два автомобиля выехали одновременно: один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А. Скорость одного

Уральский федеральный университет имени первого Президента России БН Ельцина Специализированный учебно-научный центр ЛЕТНЯЯ ШКОЛА 07 года ФИЗИКА РАЗБОР ЗАДАНИЙ Локомотив (3 балла) Определите, пользуясь

Дистанционная подготовка bituru ФИЗИКА Статья 8 Механические колебательные системы Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим методы решения задач на колебательное движение тел Колебательным движением

Динамика 1. Брусок массой движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы, направленной под углом к горизонту. Модуль этой силы Коэффициент трения между бруском и плоскостью

ТЕМА Лекция 3 Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии. Матрончик Алексей Юрьевич кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики НИЯУ МИФИ, эксперт

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант 1 РЕШЕНИЯ Внимание: квант оценки равен 5 (можно ставить только 5, 10, 15 и т. д. баллов)! Общая рекомендация: При проверке,

Занятие 3. Основные принципы динамики. Силы: тяжести, реакции, упругости Вариант 3... На тело массой 0 кг действуют несколько сил, равнодействующая которых постоянна и равна 5 Н. Относительно инерциальной

С1.1. Два одинаковых бруска, связанные легкой пружиной, покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. В момент t = 0 правый брусок начинают двигать так, что за время х он набирает конечную скорость

Дистанционная подготовка Abituru ФИЗИКА Статья Законы Ньютона Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим задачи на применение законов Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает о том,

Зачет 1 по теме: «Кинематика. Динамика. Законы сохранения» 10 класс Вопросы к зачету 1 1. Что называется механическим движением? 2. Что называется телом отсчета? 3..Какими способами можно задать положение

Банк заданий по физике 1 класс МЕХАНИКА Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение 1 На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при его прямолинейном движении по оси x.

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Физика МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ВВЕДЕНИЕ Условие каждого задания расчетно-графической работы сопровождается десятью рисунками и двумя таблицами числовых значений заданных величин. Выбор вариантов совершается согласно с шифром студента.

Зачет 1 по темам «Кинематика. Динамика». Вопросы к зачету: 1. Что изучает кинематика? 2. Основные понятия кинематики: механическое движение, материальная точка, система отсчета, траектория, пройденный

Обучающие задания на тему «ДИНАМИКА» 1(А) Автобус движется прямолинейно с постоянной скоростью. Выберете правильное утверждение. 1) На автобус действует только сила тяжести.) Равнодействующая всех приложенных

Задачник школьника izprtalru 6 Динамика прямолинейного движения Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) для тела постоянной массы в инерциальных системах отсчета имеет вид

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Методические указания по

Примеры решения задач Пример 1 Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок (рис1а) перекинута невесомая нерастяжимая нить к концам которой привязаны грузы 1 и Найдите силу давления X N F блока на

Решение задач на движение тел с использованием блоков Задача Через блок перекинута нерастяжимая нить, к которой прикреплены два тела массами и (причём) Определить ускорения, с которыми будут двигаться

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант РЕШЕНИЯ Внимание: квант оценки равен 5 (можно ставить только 5, 10, 15 и т. д. баллов)! Общая рекомендация: При проверке, даже

1.2.1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея 28(С1).1. Пассажир автобуса на остановке привязал к ручке сиденья за нитку легкий воздушный шарик, заполненный

РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ, ДАВЛЕНИЕ 008 1. Стальная деталь (ρс = 7800кг/м) объемом 4 дм находится на высоте м. Ее потенциальная энергия равна А) 9600 Дж В) 960 Дж С) 96000 Дж D) 96 Дж Е) 9,6 Дж. Определите

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант 1 РЕШЕНИЯ 7 класс 1. (40 баллов) Два автомобиля одновременно выезжают навстречу друг другу из разных пунктов и едут со скоростями,

ИТТ- 10.3.2 Вариант 2 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 1. Как называется физическая величина, равная произведению массы тела на вектор его мгновенной скорости? 2. Как называется физическая величина, равная половине произведения

Варианты домашнего задания ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Вариант 1. 1. На рисунке а приведен график колебательного движения. Уравнение колебаний x = Asin(ωt + α o). Определить начальную фазу. x О t

Величина, её определение Обозначение Единица измерения «МЕХАНИКА» Формула Величины в формуле ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ I. Равномерное прямолинейное движение-это движение, при котором тело за любые равные промежутки

Минимум по физике для учащихся 10-х классов за 1 полугодие. Учитель физики - Турова Мария Васильевна e-mail: [email protected] Список литературы: 1. Учебник физики 10 класс. Авторы: Г.Я.Мякишев, Б.Б.

Лекция 4 Тема: Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Силы в механике. Сила упругости (закон

Вопросы для зачета по курсу «Теоретическая механика», раздел «Динамика» 1. Основные аксиомы классической механики.. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. 3. Моменты инерции системы точек

Тематическая диагностическая работа по подготовке к ЕГЭ по ФИЗИКЕ по теме «Механика» 18 декабря 2014 года 10 класс Вариант ФИ00103 (90 минут) Район. Город (населённый пункт). Школа Класс Фамилия. Имя.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра физики ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА С ПОМОЩЬЮ

Демонстрационный вариант_10 класс(профиль) Задание 1 1. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся

Нурушева Марина Борисовна старший преподаватель кафедры физики 3 НИЯУ МИФИ Механические колебания Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Законы Ньютона Задача 1. Ракета стартует с поверхности Земли и движется вертикально вверх, разгоняясь с ускорением 5g. Найдите вес космонавта массой m, находящегося

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 2018-2019 Физика, I тур, вариант 2 7 класс 1 (40 баллов) Два автомобиля выехали одновременно: один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А Скорость одного автомобиля

006-007 уч. год., 9 кл. Физика. Динамика. 5. Силы Запись второго закона Ньютона в виде формулы () нельзя трактовать, как равенство двух сил F и ma. Эта запись представляет собой лишь выражение равнодействующей

Законы сохранения Импульс тела (материальной точки) - физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. p = m υ [p] = кг м/с p υ Импульс силы векторная физическая величина,

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.

Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:

где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.

Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:

Измеряется частота в 1/с.

Период и частота - величины взаимно обратные:

Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив скорость v на время одного оборота:

l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому

vT = 2πr,

где w (с -1) - угловая скорость.

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:

Связь между линейной и угловой скоростями:

Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.