1. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть твердое тело участвует одновременно в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью . Оси вращений пересекаются в точке О (рис.49.а)
Примером тела, участвующего в двух вращениях вокруг пересекающихся осей, является диск А, свободно насаженный на ось ОО" и вращающийся вокруг нее с угловой скоростью . Вместе с осью ОО" диск еще вращается вокруг другой
оси О 1 О 2 (рис.49.б) с угловой скоростью .
По теореме о сложении скоростей для точки М имеем
Так как переносное и относительное движения являются вращениями вокруг осей, то
где h 1 и h 2 - кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения. Площади треугольников в параллелограмме равны, поэтому .
При сложении двух вращений вокруг пересекающихся осей, одно из которых переносное, а другое - относительное, получается вращение тела вокруг мгновенной оси.
Для определения абсолютной угловой скорости вращения вокруг мгновенной оси выберем на теле точку N и вычислим ее скорость один раз как скорость сложного движения, а другой - как вращения вокруг мгновенной оси. По формуле Эйлера для вращательных движений при сложном движении имеем
Для абсолютного вращения вокруг мгновенной оси
Приравнивая скорости, получаем
т. е. угловая скорость абсолютного вращения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
2. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Следует рассмотреть три случая.
1) Вращения имеют одинаковые направления . Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис.50). На отрезке АВ тела в рассматриваемый момент имеется точка С, скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки С имеем
Скорость точки С равна нулю, если . Но , . Следовательно,
Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки В, считая ее движение сложным. Получим
Следовательно,
Для скорости точки В при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем
Приравнивая скорости точки В, полученные двумя способами, имеем
Согласно (*),
Формулу (*) можно представить в следующем виде:
Образуя производную пропорцию и используя формулу (**), получим
Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок
между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений, внутренним образом.
2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда . Получим следующие формулы:
Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом.
3. Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 52).
В этом случае Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки М имеем
Заменяя в формуле (~)на , соответственно получим
Объединяя результаты, имеем
Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (~~), одинаковы, т. е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение.
Если относительное и переносное движения тела являются вращательными вокруг параллельных осей (рис. 133), то распределение абсолютных скоростей в теле в каждый данный момент такое, как при вращательном движении вокруг мгновенной оси, которая параллельна осям составляющих вращений и делит расстояние между ними внутренним образом (если направления переносного и относительного вращений совпадают) или внешним образом (если направления этих вращений прогивопопожны) на части, обратно пропорциональные относительной и переносной угловым скоростям, т. е.
где - соответственно переносная, относительная и абсолютная угловые скорости.
Если направления угловых скоростей и совпадают (рис. 133, а), то абсолютная угловая скорость направлена в ту же сторону и по модулю равна сумме их модулей:
Если же векторы и направлены в противоположные стороны (рис. 133, б), то абсолютная угловая скорость направлена в сторону большего из них и по модулю равна разности их модулей, т. е.
Если относительная и переносная угловые скорости образуют пару угловых скоростей, т. е. (рис. 133, в), то распределение абсолютных скоростей в теле такое, как при поступательном движении, причем абсолютная скорость любой точки тела в данный момент равна вектор - моменту указанной пары:
При решении задач на сложение вращений вокруг параллельных осей часто оперируют не с модулями угловых скоростей, а с их алгебраическими величинами, которые представляют собой проекции угловых скоростей на ось, параллельную осям рассматриваемых вращений. Выбор положительного направления указанной оси произволен.
В этом случае угловые скорости одного направления являются положительными, а противоположного направления - отрицательными величинами и абсолютная угловая скорость выражается в виде алгебраической суммы составляющих угловых скоростей.
Пример 94. В дифференциальном механизме (рис. 134, а и б) ведущими звеньями являются колесо 1 и водило H, несущее ось двойного сателлита . Зная угловые скорости и колеса 1 и водила H, а также числа зубьев всех колес, найти угловую скорость колеса 3.
Решение. способ (метод Виллиса). Сущность метода заключается в сведении задачи анализа планетарных и дифференциальных механизмов к анализу обыкновенных зубчатых механизмов путем перехода от абсолютного движения звеньев рассматриваемого планетарного механизма к их относительному движению по отношению к водилу.
Пусть имеем планетарный механизм, оси колес которого параллельны. Обозначим через алгебраические значения абсолютных угловых скоростей соответственно звеньев и водила H.
Для перехода к движению относительно водила сообщим мысленно всей системе вращение вокруг оси водила с угловой скоростью (т. е. равной угловой скорости водила, но направленной в прямо противоположную сторону). Тогда водило остановится, и звенья и на основании теоремы сложения вращений, получат угловые скорости . Так как при неподвижном водиле получаем обыкновенный зубчатый механизм, звенья которого вращаются вокруг неподвижных осей, то к этому механизму можно применить формулу (97) для передаточных отношений, что приводит нас к так называемой формуле Виллиса:
где - передаточное отношение между звеньями и в их движении относительно водила H (о чем говорит верхний индекс). Это передаточное отношение, как уже указывалось можно выразить через конструктивные и геометрические параметры механизма (числа зубьев или радиусы начальных окружностей, находящихся в зацеплении колес).
В нашей задаче применим формулу Виллиса к звеньям 1 и 3:
(передаточное отношение между колесами 5 и 2 положительно, так как колеса имеют внутреннее зацепление);
(здесь передаточное отношение отрицательно, так как колеса 2 и имеют внешнее зацепление).
Таким образом,
Пусть, например, и, кроме того, колесо и водило H вращаются в одну сторону с угловыми скоростями и . В этом случае . Если бы колесо и водило H вращались в противоположные стороны, то угловую скорость одного из этих звеньев необходимо было бы считать величиной положительной, а другого - отрицательной.
В этом случае при тех же абсолютных значениях угловых скоростей звеньев и H мы бы имели:
т. е. колесо 3 вращалось бы в ту же сторону, что и водило, так как знаки их угловых скоростей совпадают.
Если закрепим колесо , то получим простой планетарный механизм. Формула Виллиса в этом случае остается в силе, надо только положить в этой формуле , что дает:
2-й способ (метод мгновенных центров скоростей). Так как звенья планетарного или дифференциального механизма с параллельными осями совершают плоскопараллельное движение, то при анализе такого механизма можно применить теорию плоскопараллельного движения и, в частности, воспользоваться методом мгновенных центров скоростей. Решение задачи полезно сопровождать построениями треугольников скоростей, которые обычно выносят за пределы механизма (рис. 134, в). Радиусы колес рассматриваемого механизма обозначим через . Тогда имеем.
Следует рассмотреть три случая.
1) Вращения имеют одинаковые направления. Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис. 71). Таким телом является диск, представленный на рис. 72. Пересечем оси вращения перпендикулярной прямой. Получим точки пересечения и , в которые можно перенести векторы угловых скоростей и . На отрезке тела в рассматриваемый момент имеется точка , скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки имеем
Точки тела, для которых переносная и относительная скорости параллельны и противоположны, могут находиться только на отрезке между точками и . Скорость точки равна нулю, если Но , . Следовательно,
Прямую, перпендикулярную осям вращения, можно провести на любом расстоянии. Следовательно, существует ось, скрепленная с телом и параллельная осям вращения, скорости точек которой равны нулю в данный момент. Она является мгновенной осью вращения в рассматриваемый момент времени.
Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки , считая ее движение сложным. Получим:
Следовательно,
Для скорости точки при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем
Приравнивая скорости точки , полученные двумя способами, имеем
Согласно (138)
Формулу (138) можно представить в виде:
Образуя производную пропорцию и используя формулу (139), получим
Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям вращений, внутренним образом . Точка при таком делении располагается между точками и .
Справедливо обратное. Вращение вокруг оси с угловой скоростью можно разложить на два вращения вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и .
Тело, участвующее в двух вращениях вокруг параллельных осей, совершает плоское движение. Плоское движение твердого тела можно представить как два вращения, переносное и относительное, вокруг параллельных осей. Плоское движение колеса сателлита 2 по неподвижному колесу 1 (рис. 73) является примером движения, которое можно заменить двумя вращениями вокруг параллельных осей в одном и том же направлении, например против движения часовой стрелки. Колесо сателлита совершает переносное вращение вместе с кривошипом вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и относительное вращение вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью . Оба вращения имеют одинаковые направления. Абсолютное вращение происходит вокруг оси, проходящей через точку , которая является в данный момент МЦС. Она находится в месте соприкосновения колес, если подвижное колесо катится без скольжения по неподвижному. Угловая скорость абсолютного вращения
Абсолютное вращение с этой угловой скоростью происходит в том же направлении, что и составляющие движения.
2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда (рис. 74). Получим следующие формулы:
Для вывода этих формул разложим вращение с угловой скоростью на два вращения в том же направлении вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и . Ось одного из вращений с угловой скоростью возьмем проходящей через точку и выберем . Другое вращение с угловой скоростью пройдет через точку (рис. 75). На основании (139) и (140) имеем
Справедливость формул (141) и (142) доказана. Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом. Точка при таком делении находится на отрезке за точкой , через которую проходит ось вращения с большей угловой скоростью.
Можно также одно вращение разложить на два вокруг параллельных осей с противоположными направлениями вращения. Примером плоского движения твердого тела, которое может быть представлено двумя вращениями вокруг параллельных осей в противоположных направлениях, является движение колеса сателлита, катящегося внутри неподвижного колеса без скольжения (рис. 76). Переносным в этом случае является вращение колеса 2 вместе с кривошипом с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку . Относительным будет вращение колеса 2 вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и абсолютным – вращение этого колеса вокруг оси, проходящей через МЦС, точку , с угловой скоростью . В этом случае и потому угловая скорость абсолютного вращения . Это вращение по направлению совпадает с направлением вращения, имеющим большую угловую скорость. Ось абсолютного вращения расположена вне отрезка за осью вращения с большей угловой скоростью.
3) Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 77). В этом случае . Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки имеем
Составляющие движения являются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим
После этого для абсолютной скорости имеем
так как . Учитывая, что , получаем
Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости относительно точки , то
Она равна векторному моменту пары вращений, который может быть также выражен векторным моментом одной из угловых скоростей относительно какой-либо точки, расположенной на оси вращения тела с другой угловой скоростью, входящей в пару вращений. Скорость поступательного движения тела, участвующего в паре вращений, зависит только от характеристик пары вращений. Она перпендикулярна осям пары вращений. Числовое ее значение можно выразить как
где – кратчайшее расстояние между осями пары или плечо пары.
Пара вращений аналогична паре сил, действующей на твердое тело. Угловые скорости вращения тела, аналогично силам, являются векторами скользящими. Векторный момент пары сил является вектором свободным. Аналогичным свойством обладает и векторный момент пары вращений.
Если с шестеренкой 2 скрепить прямолинейный отрезок , то он при движении механизма будет оставаться параллельным своему первоначальному положению. Если этот горизонтальный отрезок совместить с дном стаканчика с водой, прикрепив стаканчик к подвижной шестеренке, то вода не выльется из стаканчика при движении механизма в вертикальной плоскости.
При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы. Точка описывает окружность радиуса . Траектории всех других точек подвижной шестеренки будут тоже окружностями такого же радиуса. Тело, участвующее в паре вращений, совершает плоское поступательное движение.
| Рис.44 |
| М |
в свою очередь вращающейся вокруг оси Oz
неподвижной (абсолютной) системы координат Oxyz
; вектор угловой скорости вращения тела вокруг оси ", направленный вдоль этой оси, обозначим и назовем относительной угловой скоростью. Вращение самой системы координат по отношению к системе Oxyz
будет переносным движением; вектор угловой скорости этого вращения, направленный по оси Oz
, обозначим и назовем переносной угловой скоростью. Заметим прежде всего, что из условия параллельности векторов и все точки тела как в относительном, так и в переносном движении остаются в плоскостях, перпендикулярных к этим векторам, следовательно, абсолютное движение тела будет плоским. Точка М
этой плоской фигуры, имеющая вектор-радиус по отношению к О"
и вектор-радиус по отношению к О
, будет двигаться с абсолютной скоростью , равной
С другой стороны, рассматриваемое плоское движение можно представить как мгновенное вращение около оси, проходящей через мгновенный центр и перпендикулярной к плоскости движения. Чтобы найти положение этой оси, обозначим вектор-радиус мгновенного центра Р
через и напишем условие, что абсолютная скорость точки плоской фигуры Р
равна нулю. Полагая в равенстве (2.41) 
и 
получим
 |
| Рис.45. |
Умножим обе части этого равенства векторно на единичный вектор оси Oz;
тогда, раскрывая двойное векторное произведение и так как вектора и перепендикулярны единичному вектору , получим: 
, где и согласно принятым обозначениям представляют алгебраические величины угловых скоростей (знак плюс, если вращение положительно для наблюдателя, смотрящего с оси Oz или знак минус в противоположном случае). Итак, при 
(2.43)
Из последнего равенства видно, что при любых зависимостях между и мгновенный центр Р находится на линии 00" .Чтобы найти угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра, вычтем (2.42) из (2.41); получим:
Это - формула вращательной скорости вокруг точки Р, с абсолютной угловой скоростью, равной
Итак, рассматриваемое абсолютное движение твердого тела эквивалентно вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр Р
, с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме переносной и относительной угловых скоростей. Отметим возможные случаи расположения мгновенной оси.
 |
| Рис.46. |
же знак, например положительный. В этом случае из уравнений (2.43) видно, что точка лежит между центрами О и на расстояниях, обратно пропорциональных величинам угловых скоростей (рис 46). Абсолютная угловая скорость вращения вокруг оси, проходящей через точку Р , по (63) равна сумме угловых скоростей.
2. Направление вращений различно, т. е. и имеют различные знаки, например > 0, a < 0, причем положим для определенности, что > . В этом случае из формулы (62) следует: 
.Точка Р
, следовательно, лежит за точкой О
.
В качестве приложения рассмотрим вопрос об определении угловых скоростей в эпициклическом зацеплении зубчатых колес (рис.47).Обычно эпициклическим или планетарным механизмом называют сцепление двух или нескольких колес, из которых одно вращается около неподвижной оси, другие - около осей, закрепленных на подвижной рукоятке, причем зацепление может быть как внешним, так и внутренним. Колеса, соединенные с вращающейся рукояткой, называют сателлитами.
 |
| Рис. 47. |
Выведем общее соотношение между угловыми скоростями колес и рукоятки по отношению к основанию механизма в случаях внешнего и внутреннего зацепления. На рисунке все угловые скорости показаны в направлении по часовой стрелке; знак в дальнейшем покажет истинное направление вращений. Угловая скорость рукоятки обозначена через .Придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью (- ), равной по величине угловой скорости рукоятки, но противоположной ей по направлению. Тогда по теореме о сложении угловых скоростей основание механизма станет подвижным звеном, имеющим угловую скорость (- ), а рукоятка, наоборот, станет неподвижной и будет играть роль основания механизма. Механизм с перемещающимися осями превратится при этом в систему зубчатых колес с неподвижными осями, но угловые скорости колес будут уже равны соответственно 
и 
. Тогда, пользуясь известным соотношением между угловыми скоростями и радиусами, найдем:
здесь знак "-“ для внешнего зацепления и “+“ для внутреннего.
3. Направления вращений различны, но угловые скорости их равны по величине ( =- ).Этот случай представляет некоторую особенность, так как векторы и образуют пару векторов. В этом случае имеет место мгновенно-поступательное движение тела.
Объединяя все три случая, приходим к следующему результату: при сложении вращений вокруг параллельных осей угловые скорости складываются так же, как параллельные силы в статике. При проведении этой аналогии переносная и относительная угловые скорости рассматриваются как слагаемые силы, а абсолютная угловая скорость соответствует равнодействующей силе.
2. Теорема о сложении вращений вокруг пересекающихся осей.
 |
| Рис.48. |
Пусть относительное вращение тела с относительной угловой скоростью происходит вокруг оси Oz" , а переносным движением является вращение системы Ox"y"z" с переносной угловой скоростью вокруг неподвижной оси Oz , пересекающейся с осью Oz" в точке О . Абсолютным движением будет движение тела по отношению к системе координат Oxyz . Рассматриваемое абсолютное движение тела является вращением вокруг неподвижного центра О . Всякое вращение тела вокруг неподвижного центра можно представить как вращение вокруг некоторой мгновенной оси. Определим направление мгновенной оси и найдем вектор абсолютной угловой скорости вращения тела. Для этого возьмем какую-нибудь точку М тела с вектор-радиусом и напишем по теореме о сложении скоростей: в данном случае
Из содержания предыдущих параграфов видно, что введенные выше простейшие кинематические элементы - угловые скорости вращения тела (или системы координат) и скорости поступательных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные движения аналогичны парам сил. Как и в статике, совокупность кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или скорость результирующего поступательного движения) равен сумме моментов слагаемых пар.
Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе (равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями составляющих вращений и силами этим не ограничивается. Мы сейчас установим, что сложение вращений вокруг параллельных осей совершенно аналогично сложению параллельных сил.
Предположим, что тело вращается с угловой скоростью ω 2 вокруг оси O 2 z 2 относительно системы координат O 2 x 2 y 2 z 2 , а последняя вращается с угловой скоростью ω 1 вокруг оси O 1 z 1 относительно системы координат O 1 x 1 y 1 z 1 , причем оси O 1 z 1 и O 2 z 2 параллельны (рис. 14.7).
Тогда абсолютная скорость любой точки М тела
Скорости v r и v e точки М расположены в плоскости, перпендикулярной осям O 1 z 1 и O 2 z 2 , следовательно, и абсолютная скорость v точки М лежит в плоскости, перпендикулярной этим осям. Так как точка М произвольна, то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем в плоскости x 1 O 1 y 1 мгновенный центр скоростей в случае, когда ω 1 и ω 2 направлены в одну сторону (рис. 14.7, а).
Для точки Р , лежащей на прямой O 1 O 2 , v r и v е коллинеарны, но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство
(14.11)
Точка Р делит отрезок O 1 O 2 внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей составляющих вращений.
Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противоположные направления. Пусть Скорости v r и v е в этом мой O 1 O 2 , расположенных вне отрезка O 1 O 2 (рис. 14.7, б). Найдем точку Р , в которой эти скорости равны:
(14.12)
Точка Р делит отрезок O 1 O 2 внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку всегда можно найти, если только
В каждом из рассмотренных случаев точка Р имеет скорость, равную нулю, т.е.
Найдем теперь скорость произвольной точки М :
Здесь r" - радиус-вектор точки М относительно мгновенного центра скоростей Р . Раскрывая скобки в правой части и используя равенство (14.13), получим
где 
Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих движений.
Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгновенная ось вращения расположена между, осями О 1 z 1
и О 2 z 2
и модуль результирующей угловой скорости 
В случае противоположно направленных вращений мгновенная ось расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей угловой скоростью и 
Результирующая угловая скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.
Задачи
Задача 14.3. В редукторе (рис. 14.8) водило ОС делает n=720 об/мин, а подвижные шестерни 2 и 3 вращаются вокруг своей оси относительно поводка в том же направлении с угловой скоростью, соответствующей n 23 = 240 об/мин. Определить радиус r 1 неподвижного колеса 1 и число оборотов вала II , если ОС = 240 мм, r 4 = 40 мм (r 4 -радиус шестерни 4).
Подвижные шестерни 2 и 3 совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси MN
относительно поводка и вместе с этой осью вокруг оси вала.
Радиус r 1 неподвижного колеса 1 найдем из условия, что мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3, параллельная оси MN , проходит через точку касания неподвижного колеса 1 и подвижной шестерни 2. На основании соотношения (14.11) можем записать:
где ω 23 -угловая скорость шестерен 2 и 3 при их вращении вокруг оси MN, а ω - угловая скорость вала I .
Между угловой скоростью и числом оборотов в минуту существует зависимость вида
следовательно,
Абсолютная угловая скорость ω а шестерен 2 и 3 при вращении вокруг мгновенной оси на основании (14.14) равна
ω a = ω+ ω 23
Характеризуя угловую скорость числом оборотов, получим
n a = n + n 23 = 720 + 240 = 960 об/мин.
Для определения числа оборотов шестерни 4, а следовательно, и вала II, воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютные скорости точек шестерен 3 и 4 в точке В их зацепления равны между собой (нет относительного проскальзывания):
Таким образом,
Задача 14.4. Сколько оборотов в минуту должен делать ведущий вал I редуктора (рис. 14.9), чтобы ведомый вал II совершал n 4 =1800 об/мин?
Первое колесо с внутренними зубьями неподвижно. Дано: r 1 =150 мм, r 2 = 30 мм, r 4 = 50 мм.
Подвижные шестерни 2 и 3 как одно целое совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси MN
относительно поводка и вместе с ней вращаются вокруг оси I
.
Мгновенная ось абсолютного вращения этих шестерен проходит через точку В - точку зацепления подвижной шестерни 2 и неподвижной шестерни I . Эта ось параллельна оси MN . Так как мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3 лежит вне осей слагаемых движений, то вращение этих шестерен вокруг оси MN происходит в сторону, противоположную направлению вращения вала I .
Загрузка...