Астроида (греч. астрон - звезда) - кривая, которая внешне напоминает стилизованное изображение звезды.
Формула x = a* cos(t)^3, y = a* sin(t)^3 рисует астроиду, где коэффициент a влияет на вытянутость фигуры.
Эпициклоиды
Рассмотрим другой случай. Будем вращать окружность не внутри другой (опорной) окружности, а по ее внешней стороне. Теперь, все получаемые кривые будут относиться к семейству эпициклоиды (греч.эпи - на, над). К таким фигурам относятся кардиодида и улитка Паскаля
Кардиоида и улитка Паскаля
Кардиоида (Cardioid)
Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой, то получится кардиоида (греч.кардиа - сердце) - по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце
Формула
r
= 2a(1 + cos(theta))
рисует кардиоиду
Лимакона или Улитка Паскаля (Limacon of Pascal)
А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона .
Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)
Формула r = b + 2a cos(theta) рисует лимакону (улитку Паскаля)
При b = 2a лимакона становится кардиодидом .
Эффекты с кривыми
Итак, мы знаем формулы окружности, кардиоиды и улитки Паскаля. Видно, что формулы весьма схожи, осталось объединить их в один цикл для получения первого эффекта
Dim x As Single, y As Single, b As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-25, 25)-(25, -25)
For b = 0 To 8 Step 2
For I = 0 To twoPi Step 0.01
R = b + 6 * Cos(I)
col = RGB(255 - 30 * b, 128 + (-1) ^ (b * 1) * b * 60, b * 110)
Line (x, y)-Step(0, 0), col, BF
В нашем примере a - величина постоянная, а b меняется в цикле от b=0 до b=8. Вы видите, как меньшая петля вырождается в точку, а большая удваивает свой радиус, превращаясь в кардиоиду.
Доработаем рисунок. Изменим чуточку программу и получим красивый узор
For l = 0 To 200 Step 13
For t = 0 To 360 Step 0.25
tt = t * pi / 180
x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)
y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)
red = 255 - 250 * Sin(0.31 * l)
green = 255 - 250 * Sin(0.3 * l)
blue = 255 - 250 * Sin(0.29 * l)
Col = RGB(red, green, blue)
If l Mod 2 = 0 Then
Col = RGB(0, 0, 0)
Col = RGB(255, l, 255 - l)
Line (x + 190, y + 250)-Step(ss, ss), Col, BF
PSet (x + 190, y + 250), Col
Конхоида
Представим Улитку Паскаля как конхоиду. Не углубляясь в теорию кривых, дадим такое нестрогое определение: конхоида - это геометрическое место точек, полученное перемещением каждой точки первоначальной кривой вдоль определенным образом заданных поверхностей. Для Улитки Паскаля первоначальной кривой служит самая обычная окружность, а переносятся точки вдоль линий, проходящих через точку, лежащую на этой окружности. Поясним графически. На рисунке мы выбираем на окружности неподвижную точку Р и переменную точку М , которую мы сдвигаем вдоль линии, соединяющей точки Р и М на какое-то фиксированное расстояние а .
Полученные
семейства точек и есть конхоида окружности
относительно фиксированной точки.
Программа позволяет получить ожидаемые
картинки. Сначала назначим а=0.25R.
(Постепенно увеличивайте эту величину).
Обратите внимание на необходимость
сделать два оборота (центральный угол,
он же переменная f от 0 до 720 градусов) -
один сдвигает точки наружу, а второй
оборот - внутрь окружности. Основная
тонкость переход от центрального угла
окружности, по которому мы проходим в
цикле (переменные f в градусах или t в
радианах), к углу линии, соединяющей
постоянную точку с текущей на окружности
c горизонтальной осью (переменная
alfa)
Form1.ScaleMode = vbPixels
"радиус окружности
" точка на окружности
" в качестве разделителя используйте запятую для русской версии!
a = CSng(Text1.Text) * R
" делаем оборот
For f = 1 To 720 Step 5
t = f * pi / 180
x = R * (1 + Cos(t))
If x > 0 Then alfa = Atn(y / x)
If f < 360 Then
X1 = x - a * Cos(alfa)
Y1 = y - a * Sin(alfa)
X1 = x + a * Cos(alfa)
Y1 = y + a * Sin(alfa)
Circle (X1 + 190, Y1 + 250), 2, vbBlue
Circle (x + 190, y + 250), 2, vbRed
Line (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), vbGreen
Ответ траектория точки В - астроида s t)
К циклоидным кривым относятся не только циклоида, эпи- и гипоциклоида, но также трохоида, кардиоида, астроида, описанные ниже.
Координаты X, у удовлетворяют в этом случае уравнению астроиды (фиг. 91)
Исключение дает (астроида)
При р = г = (т = 3) гипоциклоида называется астроидой (фиг. 64), и уравнения принимают вид x=R os i y=R sin"i или x -y =R .
При р=г=- (т = 3) гипоциклоида называется астроидой (фиг. 64), и уравнения принимают вид
На рис. 72 отрезок АВ = I закреплен на звене АВ = I под углом 0 = 180°. Поэтому астроида, вычерчиваемая точкой Bi, повернута относительно астроиды, вычерчиваемой точкой В, на угол т6,
Разберем вопрос о проведении касательных к этой кривой с помощью рассматриваемого механизма. В соответствии с правилом, сформулированным выше, касательная к астроиде отсечет на линии кривошипа ОА отрезок, равный знаменателю дроби в правой части выражения (160). Применительно к механизму, представленному на рис. 72, размер отсекаемого отрезка определится по формуле (172)
Практически для построения астроид в условиях производства оказывается пригодным каждое прямило, в котором движущаяся
На рис. 72 мы показали механизм, обеспечивающий концам S и Si звена 10 движение по двум астроидам, повернутым одна относительно другой на 45°.
Кривая, описываемая уравнениями (57) и (58), будет кривой типа астроиды. Оси симметрии этой кривой образуют с осями Ах
Отобразим, как это сделано в , внешность астроиды па полуплоскость Re5>0
Приняв а = р = 1, построим контур, в котором деформировалась астроида (рис. 24).
Ползуны / и 2 скользят в неподвижных направляющих р и q, оси которых взаимно перпендикулярны. Отростки а и 6 ползунов 1 к 2 скользят в крестообразном ползуне 3, оси которого также взаимно перпендикулярны. Звено 4 входит во вращательную пару С с ползуном 3 и скользит в крестообразном ползуне 5, который скользит вдоль оси звена 6, входящего во вращательные пары Л и В с ползунами / и 2. При движении ползунов I к 2 вдоль направляющих и точка К описывает дугу астроиды, уравнение которой = где 1 - АВ. Прямая ЛВ при этом огибает
Гипоциклоида имеет л - -1 точку возврата , каждая из которых с точки зрения концентрации напряжений эквивалентна концу трещины (на рис. ПЗО изображена астроида с п = 3). Дефекты такого типа могут определять прочность хрупких по-
Найти уравнение касательной к астроиде.
На рис. 72 изображен десятизвенный механизм, предназначенный для воспроизведения астроид. Астроида представляет собой обыкновенную гипоциклоиду, имеющую модуль т = и является алгебраической кривой 6-го порядка. Название астроида
Таким образом, касательная к одной из-изображенных на чертеже астроид пройдет через точки С и 5 , а касательная к другой - через точки С и S. Но точки В а В являются концами шатуна В В ламбдообразной группы в прямиле Гарта. Поэтому конец В будет всегда скользить вдоль звена DDj, а конец В - вдоль перпендикуляра, восстановленного к DDj из точки С. Отсюда следует, что астроида, вычерчиваемая точкой В, является огибающей всех положений звена DD . Сказанное можно распространить также на астроиды, воспроизведенные точкой В или любой точкой окружности, описанной из А радиусом I.
Как известно, подерой астроиды, если в качестве полюса выбран центр симметрии последней, является четырехлепестковая роза. Таким образом, достаточно удлинить отрезки ABi = АВ нарис. 72 (или на рис. 73) до размера АВ = ABi = L, чтобы получить с помощью этого
КУЛ ИСИО-РЫ Ч АЖНЫ й МЕХАНИЗМ ВЯТКИНА ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ АСТРОИДЫ
Чтобы покончить с работами, связанными непосредственно с теорией крыла , отметим работу Г.Н. Бабаева О роторах Флеттнера (Учен. зап. Сарат. гос. университета, педагогич. факультет. Т. VH. Вып. 11, 1929), в которой автор применяет обычный метод изучения крыльев к случаю двух роторов Флеттнера. Между прочим, автор показал, что линия моментов в этом случае представляет собою астроиду. Что касается
Кривая или линия - геометрическое понятие, определяемое в разных разделах различно.
КРИВАЯ (линия), след, оставленный движущейся точкой или телом. Обычно кривую представляют лишь как плавно изгибающуюся линию, вроде параболы или окружности. Но математическое понятие кривой охватывает и прямую, и фигуры, составленные из отрезков прямых, например, треугольник или квадрат.
Кривые можно разделить на плоские и пространственные. Плоская кривая, например, парабола или прямая, образуется при пересечении двух плоскостей или плоскости и тела и поэтому целиком лежит в одной плоскости. Пространственную кривую, например, винтовую линию, имеющую форму спиральной пружины, нельзя получить как пересечение какой-нибудь поверхности или тела с плоскостью, и она не лежит в одной плоскости. Кривые можно также подразделить на замкнутые и открытые. Замкнутая кривая, например квадрат или окружность, не имеет концов, т.е. движущаяся точка, порождающая такую кривую, периодически повторяет свой путь.
Кривая есть геометрическое место, или множество, точек, удовлетворяющих некоторому математическому условию или уравнению.
Например, окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Кривые, определяемые алгебраическими уравнениями, называются алгебраическими кривыми.
Например, уравнение прямой y = mx + b, где m – угловой коэффициент, а b – отрезок, отсекаемый на оси y, – алгебраическое.
Кривые, уравнения которых содержат трансцендентные функции, например, логарифмы или тригонометрические функции, называются трансцендентными кривыми.
Например, y = log x и y = tg x – уравнения трансцендентных кривых.
Форму алгебраической кривой можно определить по степени ее уравнения, которая совпадает с наивысшей степенью членов уравнения.
Если уравнение первой степени, например Ax + By + C = 0, то кривая имеет форму прямой.
Если уравнение второй степени, например,
Ax 2 + By + C = 0 или Ax 2 + By 2 + C = 0, то кривая квадратична, т.е. представляет собой одно из конических сечений; к числу таких кривых относятся параболы, гиперболы, эллипсы и окружности.
Перечислим общие формы уравнений конических сечений:
x 2 + y 2 = r 2 - окружность,
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - эллипс,
y = ax 2 - парабола,
x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - гипербола.
Кривые, соответствующие уравнениям третьей, четвертой, пятой, шестой и т.д. степеней, называются кривыми третьего, четвертого, пятого, шестого и т.д. порядка. Как правило, чем выше степень уравнения, тем больше изгибов будет у открытой кривой.
Многие сложные кривые получили специальные наименования.
Циклоидой называется плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по прямой, называемой образующей циклоиды; циклоида состоит из серии повторяющихся дуг.
Эпициклоида – это плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой неподвижной окружности вне ее.
Гипоциклоидой называется плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся изнутри по неподвижной окружности.
Спиралью называется плоская кривая, которая виток за витком раскручивается от неподвижной точки (или накручивается на нее).
Математики занимались изучением свойств кривых с глубокой древности, и названия многих необычных кривых связаны с именами тех, кто впервые их исследовал. Таковы, например, спираль Архимеда, локон Аньези, циссоида Диоклеса, кохоида Никомеда и лемниската Бернулли.
В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (, , , и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (, некоторые и также ), применяя в каждом случае специальные приёмы.
Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в :
При этом, кривые могут быть различными, даже если их совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если [ a , b ] = , путями .
Иногда кривая определяется с точностью до , то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые
эквивалентны, если существует непрерывная (иногда неубывающая) h из отрезка [a 1 ,b 1 ] на отрезок [a 2 ,b 2 ], такая что
Определяемые этим отношением называются или просто кривыми.
Аналитические определения
В курсах аналитической геометрии доказывается, что среди линий, записываемых в декартовых прямоугольных (или даже в общих аффинных) координатах общим уравнением второй степени
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
(где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля) встречаются лишь следующие восемь типов линий:
а) эллипс;
б) гипербола;
в) парабола (невырожденные кривые второго порядка);
г) пара пересекающихся прямых;
д) пара параллельных прямых;
е) пара совпавших прямых (одна прямая);
ж) одна точка (вырожденные линии второго порядка);
з) "линия", совсем не содержащая точек.
Обратно, любая линия каждого из указанных восьми типов записывается в декартовых прямоугольных координатах некоторым уравнением второго порядка. (В курсах аналитической геометрии обычно говорят о девяти (а не о восьми) типах конических сечений, поскольку там различают "мнимый эллипс" и "пару мнимых параллельных прямых", - геометрически эти "линии" одинаковы, поскольку обе не содержат ни одной точки, но аналитически они записываются разными уравнениями.) Поэтому (вырожденные и невырожденные) конические сечения можно определить также как линии второго порядка.
В кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F ( x , y ) = 0 . При этом на функцию F накладываются ограничения, которые гарантируют, что это уравнение имеет бесконечное множество несовпадающих решений и
это множество решений не заполняет «куска плоскости».
Алгебраические кривые
Важный класс кривых составляют те, для которых функция F ( x , y ) есть от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением F ( x , y ) = 0 , называется .
Алгебраические кривые, задаваемые уравнением 1-й степени, суть .
Уравнение 2-й степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет , то есть вырожденные и невырожденные .
Примеры кривых, задаваемых уравнениями 3-ей степени: , .
Примеры кривых 4-ой степени: и .
Пример кривой 6-ой степени: .
Пример кривой, определяемой уравнением чётной степени: (многофокусная) .
Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в . При этом большую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на . В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида
F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,
где F - многочлен трех переменных, являющихся точек.
Типы кривых
Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
(простая линия или жорданова дуга, также контур) - множество точек плоскости или пространства, находящихся во взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии с отрезками прямой.
Путь - отрезка в .
аналитические кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно - кривые, которые можно задать через линию уровня аналитической функции (или, в многомерном случае, системы функций).
Синусоида,
Циклоида,
Спираль Архимеда,
Трактриса,
Цепная линия,
Гиперболическая спираль и др.
Способы задания кривых:
аналитический – кривая задана математическим уравнением;
графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;
табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.
параметрический (наиболее общий способ задать уравнение кривой) :
где - гладкие функции параметра t , причем
(x ") 2 + (y ") 2 + (z ") 2 > 0 (условие регулярности).
Часто удобно использовать инвариантную и компактную запись уравнения кривой с помощью :
где в левой части стоит точек кривой, а правая определяет его зависимость от некоторого параметра t . Раскрыв эту запись в координатах, мы получаем формулу (1).
Циклоида.
История исследования циклоиды связана с именами таких великих учёных, философов, математиков и физиков, как Аристотель, Птолемей, Галилей, Гюйгенс, Торричелли и др.
Циклоида (от κυκλοειδής - круглый) - , которую можно определить как траекторию точки, лежащей на границе круга, катящегося без скольжения по прямой. Эту окружность называют порождающей.
Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которая получается как траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окружности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает кругообразная, напоминающая о круге.
Рассмотрим сначала случай, когда окружность катится по прямой. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой.
Пусть окружность радиуса R катится по прямой а. С – точка, закрепленная на окружности, в начальный момент времени находящаяся в положении А (рис. 1). Отложим на прямой а отрезок АВ, равный длине окружности, т.е. АВ = 2 π R. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками А1, А2, ..., А8 = В.
Ясно, что когда окружность, катясь по прямой а, сделает один оборот, т.е. повернется на 360, то она займет положение (8), а точка С переместится из положения А в положение В.
Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернется на 180, то она займет положение (4), а точка С переместится в самое верхнее положение С4.
Если окружность повернется на угол 45, то окружность переместится в положение (1), а точка С переместится в положение С1.
На рисунке 1 показаны также другие точки циклоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45.
Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок циклоиды, соответствующий одному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, т.е. циклоида будет состоять из периодически повторяющегося участка, называемого аркой циклоиды.
Обратим внимание на положение касательной к циклоиде (рис. 2). Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгать спину велосипедиста.
Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564 – 1642). Он же придумал и ее название.
Свойства циклоиды:
Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о некоторых из них.
Свойство 1. (Ледяная гора.) В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время (рис. 3, а). Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени.
Ясно, что кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим (рис. 3, б).
Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения.
Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида (рис. 3, а). Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.
Свойство 2. (Часы с маятником.) Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кривой, по которой движется шарик, является окружность (рис. 4).
Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды (рис. 5). За это свойство циклоиду называют также "таутохрона" – кривая равных времен.
Гюйгенс изготовил две деревянные дощечки с краями в форме циклоиды, ограничивающие движение нити слева и справа (рис. 6). При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды.
Из этого свойства циклоиды, в частности следует, что независимо от того, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и то же время.
Уравнение циклоиды
1.Уравнение циклоиды удобно записывать через α – угол поворота окружности, выраженный в радианах, заметим, что α также равняется пути, пройденному производящей окружностью по прямой.
x=rα – r sin α
y=r – r cos α
2.Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .
Циклоида описывается параметрическими уравнениями
x = rt – r sin t ,
y = r – r cos t .
Уравнение в :
Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
Из истории о циклоиде
Первым из учёных обратил внимание на циклоиду в , но серьёзное исследование этой кривой началось только в .
Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642) – знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же придумал название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие. Торичелли – известный физик, изобретатель барометра – уделял немало времени и математике. В эпоху Возрождения не было узких ученых-специалистов. Талантливый человек занимался и философией, и физикой, и математикой и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия. Немного позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие её «рулеттой» или «трохоидой». В 1634 году Роберваль – изобретатель известной системы весов системы весов – вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием. Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея . Среди , то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде от x , y , циклоида - первая из исследуемых.
Писал о циклоиде:
Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.
Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали , , Ньютон, , братья Бернулли и другие корифеи науки XVII-XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы . Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых. Эпициклоида
Некоторые виды циклоид
Эпициклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внешнее).
Построение эпициклоиды выполняется в следующей последовательности:
Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R+r;
Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат эпициклоиде.
Гипоциклоида
Гипоциклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внутреннее).
Построение гипоциклоиды выполняется в следующей последовательности:
Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А;
Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки 1, 2, ... 12;
Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R-r;
Центральный угол a определяют по формуле a =360r/R.
Делят дугу направляющей окружности, ограниченную углом a, на 12 равных частей, получают точки 11, 21, ...121;
Из центра 0 через точки 11, 21, ...121 проводят прямые до пересечения с вспомогательной дугой в точках 01, 02, ...012;
Из центра 0 проводят вспомогательные дуги через точки деления 1, 2, ... 12 производящей окружности;
Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат гипоциклоиде.
Кардиоида.
Кардиоида ( καρδία - сердце, Кардиоида является частным случаем Термин «кардиоида» введен Кастиллоном в 1741 году.
Если взять окружность и в качестве полюса точку на ней, то кардиоиду получим только в том случае, если откладывать отрезки, равные диаметру окружности. При других величинах откладываемых отрезков конхоидами будут удлиненные или укороченные кардиоиды. Эти удлиненные и укороченные кардиоиды называются иначе улитками Паскаля.
Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Кроме того, она применяется в оптической технике.
Свойства кардиоиды
Кардиоида - В М на подвижной окружности будет описывать замкнутую траекторию. Эта плоская кривая называется кардиоидой.
2)Кардиоиду можно получить и другим способом. Отметим на окружности точку О и проведем из нее луч. Если от точки А пересечения этого луча с окружностью отложить отрезок АМ, по длине равный диаметру окружности, и луч вращать вокруг точки О , то точка М будет двигаться по кардиоиде.
3)Кардиоида может быть также представлена как кривая, касающаяся всех окружностей, имеющих центры на данной окружности и проходящих через ее фиксированную точку. Когда построены несколько окружностей, кардиоида оказывается построенной как бы сама собой.
4)Есть еще столь же изящный, сколь, неожиданный способ увидеть кардиоиду. На рисунке можно увидеть точечный источник света на окружности. После того как лучи света отразятся в первый раз от окружности, они идут по касательной к кардиоиде. Представьте себе теперь, что окружность – это края чашки, в одной точке ее отражается яркая лампочка. В чашку налит черный кофе, позволяющий увидеть яркие отраженные лучи. Кардиоида в результате оказывается выделенной лучами света.
Астроида.
Астроида (от греч. astron - звезда и eidos - вид), плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида - алгебраическая кривая 6-го порядка.
Астроида.
Длина всей астроиды равна шести радиусам неподвижного круга, а площадь, ею ограниченная,- трем восьмым неподвижного круга.
Отрезок касательной к астроиде, заключенный между двумя взаимно перпендикулярными радиусами неподвижного круга, проведенными в острия астроиды, равен радиусу неподвижного круга, независимо от того, как была выбрана точка.
Свойства астроиды
Имеются четыре каспа .
Длина дуги от точки с 0 до огибающей
семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.Астроида является 6-го порядка.
Уравнения астроиды
Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: | x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3 параметрическое уравнение: x = Rcos 3 t y = Rsin 3 tСпособ построения астроиды
Чертим две взаимно перпендикулярные прямые и проводим ряд отрезков длиною R , концы которых лежат на этих прямых. На рисунке изображено 12 таких отрезков (включая отрезки самих взаимно перпендикулярных прямых). Чем больше проведем отрезков, тем точнее получим кривую. Построим теперь огибающую всех этих отрезков. Этой огибающей будет астроида.
Заключение
В работе приведены примеры задач с различными видами кривых, определяемых различными уравнениями или удовлетворяющих некоторому математическому условию. В частности циклоидальные кривые, способы их задания, различные способы построения, свойства этих кривых.
Свойства циклоидальных кривых очень часто используется в механике в зубчатых передачах, что существенно повышает прочность деталей в механизмах.
- (от греч. astron звезда и eidos вид) плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида алгебраическая… … Большой Энциклопедический словарь
Сущ., кол во синонимов: 1 кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
- (от греч. ástron звезда и éidos вид), плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида … … Энциклопедический словарь
- (астро... гр. eidos вид) мат. плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по внутренней стороне другой, неподвижной окружности с радиусом, вчетверо большим, чем у первой; имеет вид четырехконечной звезды. Новый словарь … Словарь иностранных слов русского языка
Плоская алгебраич. кривая ti ro порядка, к рая описывается точкой Мокружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r; гипоциклоида с модулем r=4. Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: параметрич. уравнения … Математическая энциклопедия
Загрузка...