Рассмотрим многоканальную СМО (п > 1), на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью а интенсивность обслуживания каждого канала составляет р, максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной т. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать:
Sq - все каналы свободны, k = 0;
S - занят только один канал (любой), k = 1;
*5*2 - заняты только два канала (любых), k = 2;
S n - заняты все п каналов, k = п.
Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым определяя дальнейшее состояние системы:
S n + - заняты все п каналов и одна заявка стоит в очереди, k = п + 1;
S n +2 - заняты все п каналов и две заявки стоят в очереди, k = п + 2;
S n+m - заняты все п канатов и все т мест в очереди, k = n + m.
Граф состояний и-канальной СМО с очередью, ограниченной т местами, представлен на рис. 5.18.
Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью
Рис. 5.18
тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие п одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания, равной р для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния S n , когда все п каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более не увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного пх.
Запишем выражения для предельных вероятностей состояний
Выражение для ро можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем р/п:
Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее п требований, т.е. когда в системе будет находиться п, п + 1, п + 2, (п + т - 1) требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей р ю Рп+ьРп+ 2 > ->Рп+т- 1- Поэтому вероятность образования очереди равна
Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все п каналов и все т мест в очереди заняты
Относительная пропускная способность будет равна
Абсолютная пропускная способность
Среднее число занятых каналов
Среднее число простаивающих каналов
Коэффициент занятости (использования) каналов
Коэффициент простоя каналов
Среднее число заявок, находящихся в очередях,
в случае если р/п = 1, эта формула принимает другой вид:
Среднее время ожидания в очереди определяется формулами Литтла
Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное 1/р, поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:
Пример 5.21. В минимаркет поступает поток покупателей с интенсивностью шесть покупателей в минуту, которых обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью два покупателя в минуту. Длина очереди ограничена пятью покупателями. Определите характеристики СМО и дайте оценку ее работы.
Решение
п = 3; т = 5; X = 6; р = 2; р = Х/х = 3; р/п = 1.
Находим предельные вероятности состояний СМО:
Доля времени простоя контролеров-кассиров
Вероятность того, что занят обслуживанием только один канал,
Вероятность того, что заняты обслуживанием два канала,
Вероятность того, что заняты все три канала,
Вероятность того, что заняты все три канала и пять мест в очереди,
Вероятность отказа в обслуживании наступает при k = т + п = = 5 + 3 = 8 и составляет р$ = р ОТК = 0,127.
Относительная и абсолютная пропускные способности СМО соответственно равны Q = 1 - р отк = 0,873 и Л = 0,873А. = 5,24 (поку- пателя/мин).
Среднее число занятых каналов и средняя длина очереди равны:
Среднее время ожидания в очереди п пребывания в СМО соответственно равно:
Система обслуживания минимаркета заслуживает высокой оценки, поскольку средняя длина очереди, среднее время пребывания покупателя в очереди составляют малые величины.
Пример 5.22. Па плодоовощную базу в среднем через 30 мин прибывают автомашины с плодоовощной продукцией. Среднее время разгрузки одной машины составляет 1,5 ч. Разгрузку производят две бригады грузчиков. На территории базы у дебаркадера могут находиться в очереди в ожидании разгрузки не более четырех автомашин. Определим показатели и дадим оценку работы СМО.
Решение
СМО двухканальная, п = 2 с ограниченным числом мест в очереди m = 4, интенсивность входящего потока л. = 2 авт/ч, интенсивность обслуживания ц = 2/3 авт/ч, интенсивность нагрузки р = А./р = 3, р/п = 3/2 = 1,5.
Определяем характеристики СМО:
Вероятность того, что все бригады не загружены, когда нет автомашин,
Вероятность отказа, когда под разгрузкой два автомобиля, а в очереди четыре автомобиля,
Среднее число автомашин в очереди
Доля времени простоя грузчиков очень мала и составляет всего 1,58% рабочего времени, а вероятность отказа велика - 36% заявок из числа поступивших получают отказ в разгрузке, обе бригады практически заняты полностью, коэффициент занятости близок к единице и равен 0,96, относительная пропускная способность мала - всего 64% из числа поступивших заявок будут обслужены, средняя длина очереди - 2,6 автомашины, следовательно, СМ О нс справляется с выполнением заявок на обслуживание и необходимо увеличить число бригад грузчиков и шире использовать возможности дебаркадера.
Пример 5.23. Коммерческая фирма получает но кольцевому завозу ранние овощи из теплиц пригородного совхоза в случайные моменты времени с интенсивностью 6 ед. в день. Подсобные помещения, оборудование и трудовые ресурсы позволяют обработать и хранить продукцию в объеме 2 ед. В фирме работают четыре человека, каждый из которых в среднем может обработать продукцию одного завоза в течение 4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч. Какова должна быть емкость складского помещения, чтобы полная обработка продукции была бы не менее 97% из числа осуществляемых поставок?
Решение
Решим задачу путем последовательного определения показателей СМО для различных значений емкости складского помещения т = 2, 3, 4, 5 и т.д. и сравнения на каждом этапе расчетов вероятности обслуживания с заданной величиной р 0 ()С = 0,97.
Определяем интенсивность нагрузки:
Находим вероятность, или долю времени, простоя для т = 2:
Вероятность отказа в обслуживании, или доля потерянных заявок,
Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок из числа поступивших, составляет
Поскольку полученная величина меньше заданной величины 0,97, то продолжаем вычисления для т = 3. Для этой величины показатели состояний СМО имеют значения
Вероятность обслуживания и в этом случае меньше заданной величины, поэтому продолжаем вычисления для следующего т = 4, для которого показатели состояния имеют такие значения: р$ = 0,12; Ротк = 0,028; Pofc = 0,972. Теперь полученная величина вероятности обслуживания удовлетворяет условию задачи, поскольку 0,972 > 0,97, следовательно, емкость складского помещения необходимо увеличить до объема 4 ед.
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно подобрать таким же образом оптимальное количество человек на обработке овощей, проводя последовательно вычисления показателей СМО для п = 3, 4, 5 и т.д. Компромиссный вариант решения можно найти путем сравнения и сопоставления для разных вариантов организаций СМО затрат, связанных как с увеличением числа работающих, так и с созданием специального технологического оборудования но обработке овощей на коммерческом предприятии.
Таким образом, модели массового обслуживания в сочетании с экономическими методами постановки задач позволяют проводить анализ существующих СМО, разрабатывать рекомендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых СМО.
Пример 5.24. На автомойку в среднем за час приезжают девять автомобилей, но если в очереди уже находятся четыре автомобиля, вновь подъезжающие клиенты, как правило, не встают в очередь, а проезжают мимо. Среднее время мойки автомобиля составляет 20 мин, а мест для мойки всего два. Средняя стоимость мойки автомобиля составляет 70 руб. Определите среднюю величину потери выручки автомойки в течение дня.
Решение
X = 9 авт/ч; = 20 мин; п = 2;т = 4.
Находим интенсивность нагрузки
Определяем долю времени простоя автомойки
Вероятность отказа
Относительная пропускная способность равна Абсолютная пропускная способность Среднее число автомобилей в очереди
Среднее число заявок, находящихся в обслуживании,
Среднее время ожидания в очереди
Среднее время пребывания автомашины на мойке
Таким образом, 34% заявок не будут обслужены, потеря за 12 ч работы одного дня составит в среднем 2570 руб. (12*9* 0,34 70), т.е. 52% от всей выручки, поскольку р отк = 0,52 р 0 ^ с.
- относительная пропускная способность, или вероятность обслуживания, абсолютная пропускная способность среднее число занятых бригад коэффициент занятости работой бригад грузчиков
Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием.
Будем предполагать, что входящий поток заявок на обслуживание есть простейший поток с интенсивностью λ.
Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.
Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Будем считать, что размер очереди ограничен и не может вместить более m заявок, т.е. заявка, заставшая в момент своего прихода в СМО m +1 заявок (m ожидающих в очереди и одну, находящуюся на обслуживании), покидает СМО.
Система уравнений, описывающих процесс в этой системе, имеет решение:
(0‑1)
Знаменатель первого выражения представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем ρ, откуда получаем
При ρ = 1 можно прибегнуть к прямому подсчету
(0‑8)
Среднее число находящихся в системе заявок.
Поскольку среднее число находящихся в системе заявок
(0‑9)
где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, то зная остается найти . Т.к. канал один, то число обслуживаемых заявок может равняться либо 0, либо 1 с вероятностями P 0 и P 1=1- P 0 соответственно, откуда
(0‑10)
и среднее число находящихся в системе заявок равно
(0‑11)
Среднее время ожидания заявки в очереди .
т.е., среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.
Среднее время пребывания заявки в системе.
Время пребывания заявки в системе складывается из времени ожидания заявки в очереди и времени обслуживания. Если загрузка системы составляет 100%, то =1/μ, в противном случае = q / μ . Отсюда
(0‑13)
Содержание работы .
Подготовка инструментария эксперимента .
Выполняется аналогично в соответствии с общими правилами.
Расчет на аналитической модели .
1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.
2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите исходные данные, которые определяются по правилу:
m=1,2,3
(максимальная длина очереди).
Для каждого значения m необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:
= <порядковый номер в списке группы>
3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.
Эксперимент на имитационной модели .
1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.
2. Для каждой комбинации m , и осуществите запуск модели.
3. Результаты запусков внесите в таблицу.
4. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя P отк , q и А.
Анализ результатов .
1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.
2. Для m=3 постройте на одной диаграмме графики зависимости P отк от на теоретически и экспериментально полученных данных.
Оптимизация параметров СМО .
Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для прибора со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:
- доход от обслуживания одной заявки равным 80 у.е./час,
- стоимость содержания одного прибора равным 1у.е./час.
1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:
Первый столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).
Все клетки второго и третьего столбцов заполняются значениями и.
В клетки столбцов с четвертого по девятый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.
В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).
В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:
- число заявок в единицу времени
N r =A
- суммарный доход в единицу времени
I S = I r *N r
- суммарный расход в единицу времени
E S =E s + E q *(n-1)
- прибыль в единицу времени
P = I S - E S
где
I r - доход от одной заявки ,
E s - расход на эксплуатацию одного прибора ,
E q - расход на эксплуатацию одного места в очереди .
Графики для P отк ,
- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,
- график зависимости прибыли в единицу времени от m .
Контрольные вопросы :
1) Дайте краткое описание одноканальной модели СМО с ограниченной очередью.
2) Какими показателями характеризуется функционирование одноканальной СМО с отказами?
3) Как рассчитывается вероятность p 0 ?
4) Как рассчитываются вероятности p i ?
5) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?
6) Как найти относительную пропускную способность?
7) Чему равна абсолютная пропускная способность?
8) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?
9) Приведите примеры СМО с ограниченной очередью.
Задачи .
1) Порт имеет один грузовой причал для разгрузки судов. Интенсивность потока составляет 0,5 заходов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Если в очереди на разгрузку стоят 3 судна, то приходящее судно направляется для разгрузки на другой причал. Найти показатели эффективности работы причала.
2) В справочную железнодорожного вокзала поступают телефонные запросы с интенсивностью 80 заявок в час. Оператор справочной отвечает на поступивший звонок в среднем 0,7 мин. Если оператор занят, клиенту выдается сообщение "Ждите ответа", запрос становится в очередь, длина которой не превышает 4 запросов. Дайте оценку работы справочной и вариант ее реорганизации
Тема. Теория систем массового обслуживания.
Каждая СМО состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.
Классификация СМО по способу обработки входного потока заявок.
Системы массового обслуживания
С отказами
(без очереди)
С очередью
Ограниченная очередь
С приоритетом
В порядке поступления
Относительный приоритет
Абсолютный приоритет
По времени обслуживания
По длине очереди
Классификация по способу функционирования:
открытыми, т.е. поток заявок не зависит от внутреннего состояния СМО;
закрытыми, т.е. входной поток зависит от состояния СМО (один ремонтный рабочий обслуживает все каналы по мере их выхода из строя).
Многоканальная СМО с ожиданием
Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
- все каналы свободны;
- занят один канал, остальные свободны;
- заняты -каналов, остальные нет;
- заняты все -каналов, свободных нет;
есть очередь:
- заняты все n-каналов; одна заявка стоит в очереди;
- заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;
- заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.
ГСП приведен на рис. 9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Рис. 9. Многоканальная СМО с ожиданием
Вероятность отказа.
(29)
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:
Абсолютная пропускная способность СМО:
(30)
Среднее число занятых каналов.
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
(31)
где .
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (23), (24) - (26)), используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания заявки в очереди.
(32)
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди только множителем , т. е.
.
Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО
.
Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятность отказа
Среднее число заявок в очереди получим при из (31):
,
а среднее время ожидания - из (32):
.
Среднее число заявок .
Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:
В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.
СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).
Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.
Пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:
Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:
нет очереди:
- все каналы свободны;
- занят один канал;
- заняты два канала;
- заняты все n-каналов;
есть очередь:
- заняты все n-каналов, одна заявка стоит в очереди;
- заняты все n-каналов, r-заявок стоят в очереди и т. д.
Граф состояний и переходов системы показан на рис. 10.
Рис. 10. СМО с ограниченным временем ожидания
Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .
Среднее число заявок в очереди: (35)
На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью
. Значит, из среднего числа
-заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания,
-заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться
-заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:
Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на Замкнутые СМО
До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.
В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания. = =P 1 + 2 P 2 +…+(n- 1 )P n- 1 +n( 1 -P На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом t обсл =1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?
Пример 2 . /μ=2, ρ/ n =2/3<1.
Задача 3:
Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Время работы и время наладки распределено по экспоненциальному закону.
Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.
Найдите те же характеристики для системы, в которой:
а) за каждым рабочим закреплены два станка;
б) два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;
в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).
На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.
Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживаний имеет интенсивность, обратную среднему времени обслуживания заявки Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:
Среднее число заявок в системе,
Среднее время пребывания заявки в системе,
Среднее число заявок в очереди,
Среднее время пребывания заявки в очереди,
Вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).
Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому по той же причина
Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:
Канал свободен,
Канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,
Канал занят, одна заявка стоит в очереди,
Канал занят, заявок стоят в очереди,
Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью А переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью
Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если строго меньше единицы то финальные вероятности существуют, а при очередь при растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так.
При СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для
Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний существуют только при ). Теперь предположим, что это условие выполнено, и Суммируя прогрессию в (20.11), имеем
(20.12)
Вероятности найдутся по формулам:
откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:
Как видно, вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как это ни странно, максимальная из них - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Найдем среднее число заявок в СМО . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения с вероятностями
Ее математическое ожидание равно
(20.14)
(сумма берется не от 0 до а от 1 до так как нулевой член равен нулю).
Подставим в формулу (20.14) выражение для
Теперь вынесем за знак суммы :
Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: есть не что иное, как производная пор от выражения значит,
Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:
Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ; эта сумма равна а ее производная . Подставляя это выражение в (20.15), получим:
(20.16)
Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и наймем среднее время пребывания заявки в системе:
Найдем среднее число заявок в очереди Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус чйсло заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили ). Очевидно, равно единице минус вероятность того, что канал свободен;
Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно
Загрузка...