Понятие отношения делимости. Свойства делимости натуральных чисел

Делимость натуральных чисел

Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.

Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a - bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.

Доказательство. Так как а b, то существует такое q N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно . Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство . Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.

если a b и а≠b, то .

Доказательство . Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.

Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.

Доказательство . Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a - bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ... , а n делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 +а 2+ ...+ а n делится на это число.

Доказательство . Так как а 1 b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1= bq 1 . Так как a 2 b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n b, то существует такое натуральное число q n , что а n = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 +а 2 + ... + а n в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда а 1 + а 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, т.е. сумма а 1 + а 2 + ... + а n оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 + ... + a n делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a 1 и а 2 делятся на b и а 1 > а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.

Доказательство . Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Доказательство . Пусть s = а 1 + а 2 + ... + a n + с и известно,

что а 1 b, а 2 b ... a n b, но . Докажем, что тогда .

Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а 1 + а 2 + ... + a n). Так как s b по предположению, (а 1 + а 2 + ... + a n) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .

Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.

Доказательство . Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.

Признаки делимости

Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 , где а n , a n-1 ,..., а 1 , принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а n ≠ 0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.

Так как 10 2, то 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 и, значит, (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. По условию а 0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.

Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10+а в таком виде:

а о = х-(а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а о 2, поскольку х 2 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.

Так как 100 4, то (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 в таком виде: а 1 ·10 + а о = х- (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2). Так как х 4 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2) 4, то по теореме о делимости разности (а 1 ·10 + а о) 4 Но выражение а 1 ·10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Как уже отмечалось, натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается а:

Слово «нацело» обычно опускают – для краткости.

Если а делится на b, то говорят еще, что а кратно b. Например, число 48 кратно числу 24.

Теорема 1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число .

Например, 15 делится на 3, значит, и 15∙11 делится на 3, потому что 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Эти рассуждения подходят и для общего случая. Пусть число а делится на с, тогда найдется такое натуральное число n, что a = n∙c. Рассмотрим произведение числа а и произвольного натурального числа b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Отсюда, по определению, вытекает, что произведение a∙b тоже делится на с. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье .

Например, 777 делится на 111, потому что 777=7∙111, а 111 делится на 3, потому что 111 = 3∙37. Из этого следует, что 777 делится на 3, так как 777 = 3∙(37∙7).

В общем случае эти рассуждения можно повторить почти дословно. Пусть число а делится на число b, а число b делится на число с. Это означает, что найдутся такие натуральные числа n и m, что a = n∙b и b = m∙c. Тогда число а можно представить в виде: а = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Равенство а = (n∙m)∙c означает, что число а тоже делится на с.

Теорема 3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число .

Например, 100 делится на 4, потому что 100=25∙4; 36 тоже делится на 4, потому что 36 = 9∙4. Из этого следует, что 136 делится на 4, потому что

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Можно также заключить, что число 64 делится на 4, потому что

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Докажем теорему в общем случае. Пусть каждое из чисел а и b делится на число с. Тогда, по определению, найдутся такие натуральные числа n и m, что
а = n∙c и b = m∙c. Рассмотрим сумму чисел а и b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Отсюда следует, что а + b делится на с.

Аналогично, а – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Следовательно, а – b делится на с.

Теорема 4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число .

Например, 148 делится на 37, потому что 148 = 4∙37, а 11 не делится на 37. Очевидно, что сумма 148 + 11 и разность 148 – 11 не делятся на 37, иначе это противоречило бы свойству 3.

Признаки делимости

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10 .

Например, число 4560 оканчивается цифрой 0, его можно представить в виде произведения 456∙10, которое делится на 10 (по теореме 1).

Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 = 4560+1 – сумма числа 4560, делящегося на 10, и числа 1, не делящегося на 10 (по теореме 4).

Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5 .

Например, число 2300 делится на 5, потому что это число делится на 10, а 10 делится на 5 (по теореме 2).

Число 2305 оканчивается цифрой 5, оно делится на 5, так как его можно записать в виде суммы чисел, делящихся на 5: 2300 + 5 (по теореме 3).

Число 52 не делится на 5, потому что 52 = 50 + 2 – сумма числа 50, делящегося на 5, и числа 2, не делящегося на 5 (по теореме 4).

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Например, число 130 оканчивается цифрой 0, оно делится на 10, а 10 делится на 2, следовательно, 130 делится на 2.

Число 136 оканчивается цифрой 6, оно делится на 2, так как его можно записать в виде суммы чисел, делящихся на 2: 130 + 6 (по теореме 3).

Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7 – сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (по теореме 4).

Число, делящееся на 2, называют четным.

Число, не делящееся на 2, называют нечетным .

Например, числа 152 и 790 – четные, а числа 111 и 293 – нечетные.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9 .

Например, сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5 = 18 числа 7245 делится на 9. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде суммы 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках – сумма цифр данного числа – также делится на 9 (по теореме 3).

Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3 + 7 + 5=15 не делится на 9 Это можно доказать следующим образом: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках – сумма цифр числа 375 – не делится на 9 (по теореме 4).

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3 .

Например, у числа 375 сумма цифр 3 + 7 + 5=15 делится на 3, и оно само делится на 3 потому, что 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках – сумма цифр числа 375 – также делится на 3.

Сумма цифр числа 679, равная 6 + 7 + 9 = 22, не делится на 3, и само число не делится на 3, потому что 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках – сумма цифр числа 679 – не делится на 3.

Примечание . Когда говорят «число оканчивается цифрой...» имеют в виду «десятичная запись числа заканчивается цифрой...»

Простые и составные числа

Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя:

р:1=р, р:р=1.

Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .

Вот первые десять простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Непростые натуральные числа, большие единицы, называют составными . Каждое составное число делится на 1, само на себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Вот все составные числа, меньшие 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.

Простых чисел бесконечно много, есть первое число – 2, но нет последнего простого числа.

Делители натурального числа

Если натуральное число а делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа а.

Например, делителями числа 13 являются числа 1 и 13, делителями числа 4 – числа 1, 2, 4, а делителями числа 12 – числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Каждое простое число имеет только два делителя – единицу и само себя, а каждое составное число, кроме единицы и себя, имеет и другие делители.

Если делитель – простое число, то его называют простым делителем. Например, число 13 имеет простой делитель 13, число 4 – простой делитель 2, а число 12 – простые делители 2 и 3.

Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей. Например,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = З 4 ;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28, 22, 81 и 100.

Разложить данное составное число на простые множители – значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.

Покажем, как можно разложить число 90 на простые множители.

1) 90 делится на 2, 90:2 = 45;

2) 45 не делится на 2, но делится на 3, 45:3= 15;

3) 15 делится на 3, 15:3 = 5;

4) 5 делится на 5, 5:5 = 1.

Таким образом, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Наибольший общий делитель

Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 12. Число 54 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Мы видим, что числа 12 и 54 имеют общие делители 1, 2, 3, 6.

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают: НОД (а, b).

Например, НОД (12, 54) = 6.

Наименьшее общее кратное

Число, делящееся на 12, называется кратным числу 12. Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т.д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.

Мы видим, что имеются числа, кратные одновременно 12 и 18. Например, 36, 72, 108, ... . Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на а и b. Это число обозначают: НОК (а, b).

Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов. Рассмотрим их.

Найдем НОК(18, 24).

I способ. Будем выписывать числа, кратные 24 (большему из данных чисел), проверяя, делится ли каждое из них на 18: 24∙1=24 – не делится на 18, 24∙2 = 48 – не делится на 18, 24∙3 = 72 – делится на 18, поэтому НОК (24, 18) =
= 72.

II способ. Разложим числа 24 и 18 на простые множители: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

НОК(24, 18) должно делиться и на 24, и на 18. Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 (т. е. числа 2, 2, 2, 3) и еще недостающие множители из разложения меньшего числа 18 (еще одно число 3). Поэтому НОК(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, 24 и 25 – взаимно простые числа. Поэтому НОК (24, 25) = 24∙25 = 600.

Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело на 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120.

Целые числа

Напоминание. Числа, которые используют при подсчете количества предметов, называют натуральными числами . Нуль не считается натуральным числом. Натуральные числа и нуль, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд целых неотрицательных чисел:

В этой разделе будут введены новые числа – целые отрицательные .

Целые отрицательные числа

Базовый пример из жизни – термометр. Предположим, он показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания: 7 – 4 = 3. Если температура понизится на 7°, то термометр покажет 0°: 7 – 7 = 0.

Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет –1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 – 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля, хотя он имеет реальный смысл.

Отсчитать в ряду неотрицательных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 – 8 стало выполнимым, расширим ряд неотрицательных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак «–», показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи –1, –2, –3, ... читают «минус 1», «минус 2», «минус 3» и т. д.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел. Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными.

Понятие отношения делимости

Определение. Число а делится на число в тогда и только тогда, когда существует такое число q, что а = в × q. а в ( q N 0) [а = вq].

Обозначают: а в. Читают: «число а кратно числу в», «число в – делитель числа а», «а кратно в».

Равенство а=вq называют формулой кратности числа а числу в.

Число а, кратное 2, называют четным. Общий вид четного числа: а = 2n, n N 0 .

Число, кратное 3 имеет формулу: а = 3n, n N 0 .

Определение. Отношение делимости на множестве N 0 N содержит те и только те пары чисел (а, в), у которых первая координата кратна второй. Обозначают: « ».

« » = {(а, в)| (а, в) N 0 N а в}.

Если отношение делимости обозначить , то N 0 N ={(а, в)| (а, в) N 0 N а=вq}.

Теорема. Делитель в данного числа а не превышает этого числа, то есть, если а в в а.

Доказательство. Так как а в, то ( q N 0) [а = вq] а – в=вq-в=в(q – 1), так как q N q 1.

Тогда в (q – 1) 0 в а. Из определения отношения делимости и равенства а = 1 × а, следует, что 1 является делителем для любого натурального числа.

Следствие. Множество делителей данного числа конечно.

Например, делители числа 18 является конечное множество: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Свойства отношения делимости

1. Отношение делимости рефлексивно, то есть любое натуральное число делится само на себя: ( а N) [(а,а) ], то есть а: а = 1.

Доказательство. ( а N)[а = а × 1] по определению отношения делимости а: а.

2. Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и в из того, что а в, следует, что в не кратно а. ( а, в N 0 N)[а в а в ].

Доказательство. Допустим, что в а, тогда в а. Но по условию а в, так как а в.

Неравенства в а а в истины только в том случае, если а = в. пришли к противоречию с условием. Следовательно, допущение, что в а Л. Таким образом, отношение делимости антисимметрично.

3. Отношение делимости транзитивно. ( а,в,с N 0 N)[а в в с а с].

Доказательство. Если а в ( q N)[а = вq] (1) Из того, что в с ( t N)[в = сt] (2)

Подставим в = сt в равенство (1), получим: а = (сt)q = c(tq), t,q N tq N tq = р а = ср, р N. А это значит, что а с.

Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

Определение. Признаком делимости называется предложение, в котором доказывается как можно предсказать делимость одного числа на другое, не выполняя деления этих чисел.

Теорема (признак делимости суммы). Если числа а и в делится на число n, то их сумма делится на это число, ( а,в, n N 0 N)[а n в n (а + в) n].

Доказательство. Из того что а n в n (по определению отношения делимости)

а=nq 1 (1), q 1 N. в=nq 2 (2), q 2 N. Преобразуем сумму (а + в) к виду:

а + в = nq 1 + nq 2 = n (q 1 + q 2) = nq,q = q 1 + q 2 . а + в = nq.

Следовательно, по определению отношения делимости, что (а + в) n.

Теорема (признак делимости разности). Если числа а и в делятся на число n и а в, то их разность а – в делится на число n, то есть

( а,в,n N 0 N)[а n в n а в (а – в) n].

Теорема (признак делимости произведения). Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на число n.

( а,в,n N 0 N)[а n (ав) n].

Доказательство. Из того, что а n а = nq (1). Умножим обе части равенства (1) на в N, получим: ав = nqв (по ассоциативности умножения) ав = n(qв) = nt, где t = qв ав = nt. А это значит, что ав n (по определению отношения делимости). Таким образом, для делимости произведения на число достаточно чтобы на данное число делился хотя бы один из множителей этого произведения.

Теорема. Если в произведении ав множитель а делится на натуральное число m, а множитель в делится на натуральное число n, то ав делится на mn.

( а,в,m,n N)[а m в n ав mn].

Доказательство. Из того, что а m а = mq 1 , q 1 N; в n в = nq 2 , q 2 N

ав = mq 1 × nq 2 , = mn(q 1 × q 2) = mnq, q 1 × q 2 = q N. ав = mnq ав mn.

Теорема (признак делимости на 2). Для того, чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, то есть:

х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 , где а n , a n –1 , …, а 1 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0, а 0 – принимает значения 0, 2, 4, 6, 8.

Докажем, что число х 2. Так как 10 2, то любая степень числа 10 2. Десятичную запись числа х представим в виде: х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) + a 0

I слагаемое II слагаемое

В этой сумме первое слагаемое по признаку делимости суммы делится на 2. Второе слагаемое а 0 2 (по условию). Следовательно, по признаку делимости суммы на число х делится на 2.

Обратно, если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем число х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 в виде: а 0 = х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10).

В этой разности число х 2 (по условию), вычитаемое (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) 2 (по признаку делимости суммы). Следовательно, по теореме о делимости разности а 0 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в разряде единиц которых содержится число, делящееся на 2 или на 2 делятся те и только те числа, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема (признак делимости на 5). Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Лемма . ( n N) .

Доказательство. Так как 100 = 4 × 25, то по признаку делимости произведения

100 4. Тогда ( n N n > 1) 10 n = 100 × 10 n–2 и по признаку делимости произведения 10 n 4.

Теорема (признак делимости на 4). Натуральное число х делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры его десятичной записи образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 и пусть десятичная запись двух последних цифр a 1 10 + a 0 выражает число , которое делится на 4.

Доказательство. Представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0),

I слагаемое II слагаемое

где первое слагаемое, по доказанной выше Лемме, делится на 4, второе слагаемое делится на 4 по условию. Следовательно, согласно признака делимости суммы на число, число х делится на 4.

Обратно, если число х 4, то – двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, делится на 4.

По условию х 4. Докажем, что (а 1 10 + а 0) 4.

Доказательство. Десятичная запись числа х имеет вид:

х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+а 2 10 2 + a 1 10 + a 0 , представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0) и запишем равенство в виде:

х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) = а 1 10 + а 0 , где х 4 (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) 4 (по лемме).

Следовательно, по признаку делимости разности а 1 10 + а 0 4. выражение а 1 10 + а 0 = – есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры десятичной записи которых образуют число, делящееся на 4.

Теорема. Для того чтобы число х делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказывается аналогично.

Признак делимости на 25. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры в записи числа 00, 25, 50, 75.

Лемма. ( n N) [(10 n – 1) 9].

Докажем методом математической индукции.

1. Проверим справедливость утверждения для n = 1, И 3

Признак делимости на 3. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

Лекция 44. Делимость целых неотрицательных чисел

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Отношение делимости на множестве неотрицательных чисел.

2. Свойства отношения делимости.

3. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.

В начальных курсах математики Делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2,3,5 и другие.

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a = bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q =3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8. В том случае, когда а делится на b, пишут: а: . b. Эту запись »« читают и так: «а кратно b». Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 -делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

а: . b, то b < а.

Доказательство. Так как а: . b, то существует такое q Є N,что a = bq u, значит, a-b = bq – b= b·(q - 1). Поскольку q Є N,тоq≥ 1. Тогда b· (q - 1) ≥ 0 и, следовательно, b ≤ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …, и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а: . а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а: . b и а ≠ b,

то b ⁞͞ a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞ a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞ . b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4 . Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.

Доказательство. Так как а: . b, то существует такое натуральное число q, что a = bq, а так как b⁞ с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: a = bq = (cp)q = c(pq)- Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости,

а⁞ с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ...,а п делится на натуральное число b, то и их сумма a 1 + а 2 + ... + а n делится на это число.

Доказательство. Так как а 1 ⁞ b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1 =bq 1 . Так как а 2 ⁞ b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n: . b, то существует такое натуральное число q n , что а п = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 + а 2 + ... +а п в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда a 1 + a 2 + ... + a n = b(q 1 + q 2 +... + q n) = bq, т.е. сумма а 1 + а 2 +… + а п оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 +… + а п делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а 1 и а 2 делятся на b и а 1 ≥ а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Доказательство. Так как а: . b, то существует такое натуральное число q, что a = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах=(bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx)и, значит, ax = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости, ax: . b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Доказательство. Пусть s = а 1 + а г + ... + а п +" с и известно, что а 1: . B, а 2: . B,

а 3: . b, … а n: . b, но с: . b. Докажем, что тогда s: . b

Предположим противное, т.е. Пусть s: . b. Преобразуем сумму s к виду с = s- (а 1 + а 2 +… + а n ). Так как s: . b по предположению, (а 1 + а 2 +… + а n ) : . b согласно признаку делимости суммы, то по теореме делимости разности с: .b

Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, s: . b.

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так 34: .2,376: .2,124: .2, но 125 не делится на 2.

Теорема 9 . Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.

Доказательство. Так как ас делится на bc, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а = bq, т.е. а : .b.

Упражнения

1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2. Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = {2, 6,. 12, 18, 24}. Как отражены на этом графе свойства данного отношения?

3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 -делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.

4. Запишите множество делителей числа.

а) 24; 6)13; в) 1.

5 .На множестве X ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6 .Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

8. Верно ли, что:

а) а: . т и b: . n =>ab: .mn

б) а: .п и b: .n => ab: .n;

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.

В этом случае число b называютделителем числа а , а число а - кратным числа b.

Например , 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8×3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а M b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства a = 1 × а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т. е. если а M b, то b £ а.

Доказательство. Так как а M b, то существует такое qÎ N, что а = bq и, значит, а - b = bq - b = b ×(q - 1). Поскольку qÎ N, то q ³ 1. . Тогда b ×(q - 1) ³ 0 и, следовательно, и b £ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9, 12, 18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например , 13 – простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4. Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, -их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,... .

Нам известно, что отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а× 1. Так как 1 Î N то, по определению отношения делимости, аMа.

Теорема 3 . Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а M b и а ¹ b, то .

Доказательство. Предположим противное, т. е. что bMа. Но тогда а£ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию а M b и а ¹ b. Тогда, по той же теореме, b £ а.

Неравенства а £ b и b £ а.будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а M b и b M с, то а M с.

Доказательство. Так как а M b, q, что а = b q , а так как bM с, то существует такое натуральное число р , что b = ср. Но тогда имеем: а = b q = (ср)q = с(рq). Число рq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а. M с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1, а 2 ,…а п делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 + а 2 + … + а п делится на это число.

Например , не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 +915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а 1 и а 2 делятся на b и а 1 ³ а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х е N. делится на b.

Из теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например , произведение 24×976×305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34:2,376: 2,124: 2,но 125 не делится на 2.

Теорема 9. Если в произведении аb множитель а делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число п то а b делится на тп.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы

При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом поэтому к системе аксиом предъявляются.. система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически.. если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик

Вопросы для самоконтроля
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами? 2. Что такое «число», «цифра», «счет»? 3. В чем связь и различие счета и изме

Основная литература; Дополнительная литература Введение. Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснил

Теоретико-множественный смысл суммы
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечен

В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а. Вычитание целых неотрицательных чисел определяет

Теоретико-множественный смысл произведения
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с

Позиционные и непозиционные системы исчисления
Содержание 1. Позиционные и непозиционные системы счисления. 2. Запись числа в десятичной системе счисления. Основная литература ;

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления
Называть числа и вести счет люди научились еще до появления письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревя

Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям

Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,

Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры умен

Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую табли

Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком
1. Если а =b, то частное q = 1, остаток r = 0. 2. Если а >b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

4. Простые числа. 5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел. Основная литература ; Дополнительн

Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9. Признаки делимости позволя

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства

Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет

Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
Рассмотрим сначала способ, основанный на разложении данных чисел на простые множители. Пусть даны два числа 3600 и 288. Представим их в каноническом виде: 3600 = 24×3

О расширении множества натуральных чисел
Содержание 1. Понятие дроби. 2. Положительные рациональные числа. 3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 4. Действительные ч

Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос

Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби. На

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
("а, b Î Q+) а + b= b + а; ("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Прежде чем сформулировать определе

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
Впрактической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными. Определение. Десят

Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.

Теоретико-множественный смысл разности
8. Отношения «больше на» и «меньше на». 9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. 10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.

Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел
27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 28. Действительные числа. МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧ

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»: 1) Многие окружающие нас предметы имеют длину. 2) Стол имеет длину. В первом предложении утверждается,