Что значит «на порядок больше»? Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа Чему равен порядок.

Часто говорят «на порядок больше», «на порядок меньше» или даже «больше/меньше на несколько порядков». Интуитивно понятно, что «на порядок больше» означает «сильно больше», «значительно больше» – но вот хотелось бы знать, на сколько именно? Если прочитаете эту статью, будете знать точно.
Любое действительное число… Простите… Возможно, не все помнят, что это такое. А знаете – неважно. Как сказал дядюшка Мерфи: «Если вы не понимаете какой-либо термин в технической статье или документации, смело его пропускайте – статья полностью сохранит свой смысл и без этого термина».
Итак, попробуем ещё раз: любое число Х, кроме нуля, можно представить в виде
Х = Mantissa * 10 ^ Exponenta,
то есть «мантисса, помноженная на десять в степени экспонента», где
мантисса – это число, по модулю (то есть, без знака), не меньшее единицы и меньшее десяти, а
экспонента – любое целое число (… –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, …).
Ну просто эти числа так называют: одно – мантиссой, другое – экспонентой. Не нужно сильно на этом «зависать», едем дальше.
Ноль, кстати, невозможно записать таким способом, потому что мантисса, по определению, не ноль, а десятку в какую целую степень ни возводи, всё равно получится число, большее ноля, а произведение двух чисел, не равных нулю, не равно нулю.
Например,
1024 = 1.024 * 10^3
3.14 = –3.14 * 10^0
1’000’000 = 1 * 10^6
Такой вид записи числа называют научным или стандартным. Он удобен, например, тем, что числа, записанные в такой нотации, удобно сравнивать: если числа имеют один и тот же знак (оба положительные или оба отрицательные), то сначала сравниваются экспоненты, и только потом, если экспоненты равны, сравниваются мантиссы.
И вот тут-то мы и подходим к ответу на вопрос, что значит «на порядок больше». Другое, более русское, название экспоненты – «порядок». Число 256 – число второго порядка, потому что 256 = 2.56 * 10^2. Миллион – число шестого порядка, миллиард – девятого. Вообще-то, 1024 ровно в 4 раза больше числа 256, но если необходимо просто определить, какое из них больше, вполне достаточно констатировать, что первое на порядок больше второго.
Подумаешь, скажете вы, открыл Америку! И так понятно: смотрим, какое число «длиннее» – то и больше! В общем – да. Интуитивно данное понятие уже входило в круг ваших понятий, в этой статье мы просто оформили их и придали им большую чёткость.
Ещё парочка примеров:
пять миллиардов на три порядка больше семи миллионов;
скорость чтения/записи данных на жёсткий диск (миллисекунды, 10^(–3)) на три порядка меньше скорости доступа к оперативной памяти (микросекунды, 10^(–6)).
Вот, в первом приближении, и всё. Теперь вы можете с уверенностью щеголять этим термином. Или просто употреблять его грамотно и к месту. Последнее, пожалуй, предпочтительнее.

В порядке сферопсидальных (пикнидиальных) грибов в настоящее время насчитывают 750 родов, объединяющих около 6000 видов. У многих представителей этого порядка споровместилища пикниды в виде мелких, едва заметных невооруженным глазом… … Биологическая энциклопедия

Десмидиевые водоросли характеризуются удивительным разнообразием очертаний, красотой форм. и замечательной симметрией клеток. Водоросли, входящие в состав этого порядка, издавна привлекали к себе внимание не только профессиональных… … Биологическая энциклопедия

Нитчатые неветвящиеся ярко зеленые водоросли этого порядка чрезвычайно широко распространены в пресных водоемах всех континентов. Даже в холодных ручьях Антарктиды они, хотя и недолго (короткое летнее время), радуют глаз своей изумрудной… … Биологическая энциклопедия

К этому порядку относится огромное большинство представителей класса протококковых водорослей. Их обычно называют собственно протококковыми водорослями. Они характеризуются наиболее полно выраженной коккоидной структурой тела, т. е.… … Биологическая энциклопедия

Порядка, м. 1. только ед. Состояние благоустройства и налаженности, систематичность, правильность в расположении чего–н., в ходе дел; противоп. беспорядок. «Привести в порядок впечатления.» Тургенев. В комнате полный порядок. Восстановить порядок … Толковый словарь Ушакова

Муж. совокупность предметов, стоящих по ряду, рядом, рядком, вряд, сподряд, не вразброс, не враскид, а один за другим; ряд, линия, шеренга, строй; каждая сторона улицы, ряд домов, образует порядок (в петерб. линия). Которым порядком ехать то? Ряд … Толковый словарь Даля

Спорыньевые образуют перитеции в хорошо развитых стромах, состоящих только из гиф гриба. Стромы обычно мясистые, светло или яркоокрашенные, у некоторых представителей порядка темные. Их форма разнообразна, от распростертых но субстрату… … Биологическая энциклопедия

У ностоковых трихомы всегда однорядные, всегда с гетероцистами и часто со спорами, не ветвящиеся или ветвящиеся ложно. Они бывают как с влагалищами, так и без них, чаще по одному трихому в каждом влагалище. В порядок входит 9 семейств.… … Биологическая энциклопедия

Определенная связь между окружающим миром и человеком, характеризующаяся устойчивостью, структурной определенностью, последоват. ходом развития, а также приобретающая для человека смысл и выражающаяся через символы в языке культуры (в… … Энциклопедия культурологии

В широком смысле слова гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего либо, а также: порядок в физике расположение атомов, обладающее некоторой инвариантностью относительно сдвига; порядок в биологии один… … Википедия

Этот порядок сумчатых грибов объединяет несколько сотен видов, большинство из которых развивается на растительном опаде, засохших ветвях и листьях древесных растений, кустарников и кустарничков, а также на травянистых и высших споровых… … Биологическая энциклопедия

Книги

Порядок и правила приема в военные гимназии , . Порядок и правила приема в военные гимназии E 82/920:Санкт-Петербург: Я. И. Исаков, 1869: Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1869 года (издательство "Я. И. Исаков"…
Порядок престолонаследия в России с основания Русского государства до ныне благополучно царствующего императора Александра II-го , Андреев. Порядок престолонаследия в России с основания Русского государства до ныне благополучно царствующего императора Александра II-го: с указанием родословной: 1) дома Рюриковичей и 2) дома…

Порядок (математика)

Порядок в широком смысле слова - гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего-либо.

Специализированные варианты использования слова:

Математика

Порядок величины - количество цифр в числе. О двух величинах говорят, что они одного порядка, если отношение большего к меньшему из них меньше 10. Таким образом, выражение "на порядок больше/меньше" означает "в 10 раз больше/меньше".
Порядок может использоваться при классификации объектов и часто определяется максимальным значением некоторой характеристики объекта: например, уравнения первого порядка , кривые второго порядка , многочлен порядка n и т. д.
Отношение порядка на множествах.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Порядок (математика)" в других словарях:

Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия

Теория групп … Википедия

В данной таблице представлен список эпизодов американского телесериала «Закон и порядок». Первая серия была показана 13 сентября 1990 года на канале NBC. На данный момент вышло 20 сезонов сериала. Всего снято 456 эпизода. В 2010 году сериал… … Википедия

- (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи. Другое определение: говорят, что численный… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Книги

Математика. Коллекция интерактивных моделей. 5-11 классы. ФГОС (CDpc) , Лебедева Н. А., Булычев В. А., Дубровский В. Н.. Коллекция интерактивных моделей для 5-11-х классов содержит более 300 заданий и демонстраций, снабженных подробными методическими рекомендациями. Модели предназначены для сопровождения…
Математика. 5-11 классы. Коллекция интерактивных моделей. ФГОС (CDpc) , Дубровский В. Н., Лебедева Н. А., Булычев В. А.. Коллекция интерактивных моделей по математике для 5-11-х классов содержит более 200 многолистных заданий и демонстраций, снабженных подробными методическими рекомендациями. Модели созданы в…

Порядок величины - класс эквивалентности величин (или шкал) C n = { x n } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace } , выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение r = x n x n − 1 {\displaystyle r={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}} к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса n {\displaystyle n} при условии, что некоторый класс C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}} был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию b {\displaystyle b} , чаще всего принимают r = b {\displaystyle r=b} и 1 ∈ C 1 {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}_{1}} , b ∈ C 2 {\displaystyle b\in {\mathcal {C}}_{2}} . При этом n {\displaystyle n} совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления .

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то | log r ⁡ x 1 x 2 | < 1 {\displaystyle \left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1} .

Доказательство

Действительно, пусть числа m ∈ C n {\displaystyle m\in {\mathcal {C}}_{n}} и M ∈ C n {\displaystyle M\in {\mathcal {C}}_{n}} являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} . Если число x ∈ C n {\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{n}} так же принадлежит порядку C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} , то его значение должно удовлетворять условию m ≤ x ≤ M {\displaystyle m\leq x\leq M} . В то же время числа r m {\displaystyle rm} и 1 r M {\displaystyle {\frac {1}{r}}M} принадлежат смежным с порядком C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} порядкам C n + 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n+1}} и C n − 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n-1}} соответственно. Из этого следует, что для любого числа x {\displaystyle x} в данном порядке выполняется соотношение 1 r M < m ≤ x ≤ M < r m {\displaystyle {\frac {1}{r}}M.

Пусть два числа и принадлежат данному порядку C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} . Тогда − 1 = log r ⁡ m r m < log r ⁡ x 1 x 2 < log r ⁡ M 1 r M = 1 {\displaystyle -1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{\frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1} .

Разность порядков

Если два числа x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} принадлежат порядкам x 1 ∈ C n 1 {\displaystyle x_{1}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}} и x 2 ∈ C n 2 {\displaystyle x_{2}\in {\mathcal {C}}_{n_{2}}} в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение d = d (x 1 , x 2) = n 2 − n 1 {\displaystyle d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}} иногда называют разностью порядков этих чисел.

Для двух чисел x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} разность их порядков может быть найдена как d = ⌊ log r ⁡ x 2 x 1 ⌋ {\displaystyle d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor } при x 2 ≥ x 1 {\displaystyle x_{2}\geq x_{1}} .

Доказательство

Выберем число x 2 ∗ ∈ C n 1 {\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}} принадлежащее порядку C n 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n_{1}}} и соответствующее числу x 2 {\displaystyle x_{2}} из порядка C n 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n_{2}}} . По определению порядка существует такое целое d {\displaystyle d} , что x 2 ∗ = r − d x 2 {\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}=r^{-d}x_{2}} . Получаем, что log r ⁡ x 2 x 1 = log r ⁡ r d x 2 ∗ x 1 = d + log r ⁡ x 2 ∗ x 1 {\displaystyle \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}} .

Числа x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 ∗ {\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}} принадлежат одному порядку и потому log r ⁡ x 2 ∗ x 1 < 1 {\displaystyle \log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}<1} . В то же время число d {\displaystyle d} является целым, а значит d = ⌊ d ⌋ = ⌊ d + log r ⁡ x 2 ∗ x 1 ⌋ = ⌊ log r ⁡ x 2 x 1 ⌋ {\displaystyle d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor } .

В случае x 2 ≤ x 1 {\displaystyle x_{2}\leq x_{1}} разность порядков иногда берут с отрицательным знаком d (x 1 , x 2) = − d (x 2 , x 1) {\displaystyle d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})} .

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение d = log r ⁡ x 2 x 1 {\displaystyle d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}} .

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} различаются не более чем на полпорядка», то есть | log r ⁡ x 2 x 1 | ≤ 1 2 {\displaystyle \left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}}

Положительное число, записанное в стандартной форме , имеет вид

Число m является натуральным числом или десятичной дробью , удовлетворяет неравенству

и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме .

Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме .

Например, число 3251 в стандартной форме записывается так:

Здесь число 3,251 является мантиссой, а число 3 является порядком.

Стандартная форма записи числа часто используется в научных расчетах и очень удобна для сравнения чисел .

Для того, чтобы сравнить два числа, записанных в стандартной форме, нужно сначала сравнить их порядки. Большим будет то число, порядок которого больше. Если же порядки сравниваемых чисел одинаковы, то нужно сравнить мантиссы чисел. Большим в этом случае будет то число, у которого мантисса больше.

Например, если сравнить между собой записанные в стандартной форме числа

и ,

то, очевидно, первое число больше второго, поскольку у него порядок больше.

Если же сравнить между собой числа

то, очевидно, что второе число больше, чем первое, поскольку порядки у этих чисел совпадают, а мантисса у второго числа больше.

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ , опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.