Лабораторная работа 1 5 соударения упругих шаров. Измерение времени соударения упругих шаров

Цели работы:

1) изучение законов упругого и неупругого соударения шаров,

2) определение отношения скоростей и масс шаров.

Основные понятия и закономерности

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе тела испытывают деформацию. Явление удара протекает обычно в сотые, тысячные и миллионные доли секунды. Время соударения тем меньше, чем меньше деформации тел. Так как при этом количество движения тел изменяется на конечную величину, то при соударении развиваются огромные силы.

Процесс удара разделяют на две фазы.

Первая фаза – с момента соприкосновения тел до момента, когда их относительная скорость становится равной нулю.

Вторая фаза – от этого последнего момента до момента, когда соприкосновение тел прекращается.

С момента возникновения деформаций в местах соприкосновения тел начинают действовать силы, направленные противоположно относительным скоростям тел. При этом происходит переход энергии механического движения тел в энергию упругой деформации (первая фаза удара).

Во второй фазе удара, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление формы тел, затем тела расходятся и удар заканчивается. В этой фазе кинетическая энергия системы растет за счет положительной работы упругих сил.

У реальных тел относительная скорость после удара не достигает той величины, которую она имела до удара, так как часть механической энергии необратимо переходит во внутреннюю и другие формы энергии.

Различают два предельных типа удара:

а) удар абсолютно неупругий;

б) удар абсолютно упругий .

Абсолютно неупругий удар (близкий к нему) возникает при столкновении тел из пластических материалов (глина, пластилин, свинец и др.), форма которых не восстанавливается после прекращения действия внешней силы.

Абсолютно неупругим ударом называется удар, после которого возникшие в телах деформации полностью сохраняются. После абсолютно неупругого удара тела движутся с общей скоростью.

Абсолютно упругий удар (близкий к нему) возникает при столкновении тел из упругих материалов (сталь, слоновая кость и др.0, форма которых после прекращения действия внешней силы полностью (или почти полностью) восстанавливается. При упругом ударе восстанавливается форма тел и величина их кинетической энергии. После удара тела движутся с разными скоростями, но сумма кинетических энергий тел до удара равна сумме кинетических энергий после удара. Прямая, совпадающая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если линия удара проходит через центры тяжести тел. Если векторы скоростей тел до удара лежали на линии удара, то удар называется прямым.

При соударении тел выполняются два закона сохранения.

1. Закон сохранения импульса .

В замкнутой системе (система, для которой результирующая всех внешних сил равна нулю) векторная сумма импульсов тел не изменяется, т.е. величина постоянная:

= = = const , (4.1)

где – полный импульс системы,

– импульс i –го тела системы.

2. Закон сохранения энергии

В замкнутой системе тел сумма кинетической, потенциальной и внутренней энергии остается величиной постоянной:

W к + W n + Q = const, (4.2)

Где W к – кинетическая энергия системы,

W n – потенциальная энергия системы,

Q – энергия теплового движения молекул (тепловая энергия).

Простейшим случаем соударения тел является центральный удар двух шаров. Рассмотрим удар шаров массами m i и m 2 .

Скорости шаров до удара и после удара и . Для них законы сохранения импульса и энергии запишутся так:

. (4.4)

Удар шаров характеризуется коэффициентом восстановления К , который определяется отношением относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара . , взятое по абсолютной величине т.е.

Скорости первого шара относительно второго до и после удара равны:

, . (4.6)

Тогда коэффициент восстановления шаров равен:

. (4.7)

При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения механической энергии, Q = 0, относительные скорости шаров до и после взаимодействия равны и коэффициент восстановления равен 1.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия системы не сохраняется, часть ее переходит во внутреннюю. Тела деформируются. После взаимодействия тела двигаются с одинаковой скоростью, т.е. их относительная скорость равна 0, поэтому коэффициент восстановления тоже равен нулю, К = 0. Закон сохранения импульса запишется в виде

где – скорость тел после взаимодействия.

Закон сохранения энергии примет вид:

. (4.9)

Из уравнения (4.9) можно найти Q – механическую энергию, перешедшую во внутреннюю.

На практике предельные случаи взаимодействия осуществляются редко. Чаще взаимодействие носит промежуточный характер, и коэффициент восстановления К имеет значение.

Лабораторная работа

Измерение времени соударения упругих шаров

Цель работы : Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.

С момента соприкосновения шаров начинается процесс их деформации. Точка соприкосновения переходит в круглую площадку, при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации. Возникают упругие силы, которые достигают наибольшей величины в момент наибольшего сжатия шаров. Затем идет обратный процесс перехода потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения, заканчивающийся в момент расхождения шаров. Все эти процессы взаимного перехода энергии разворачиваются на очень малом промежутке времени, называемом временем соударения. В общем случае время соударения зависит от упругих свойств материала шаров, их относительной скорости в момент начала удара и от их размеров.

Время соударения определяется законом упругой силы, возникающей при соударении шаров. Известно, что при упругой деформации линейных пружин, стержней упругая сила F определяется законом Гука F = -kh , где h - величина деформации пружины. При деформации тел сложной формы зависимость упругой силы от величины сжатия можно представить в следующем виде

Такой вид зависимости F от h следует из решения так называемой контактной задачи теории упругости, решенной Г.Герцем. При этом было получено, что показатель n=3/2 , а величина k при соударении шаров радиуса R и R" определяется формулой

. (2)

где D зависит от упругих свойств материала шаров.

Н
еобходимо отметить, что при ударе деформируются оба шара, поэтому под величиной сжатия h в формуле (1) следует понимать разность между суммой R+R" и расстоянием между центрами шаров при соприкосновении (см. рис.1).

Потенциальная энергия соприкасающихся деформированных шаров можно определить, используя известную формулу F=-dU/dh .

. (3)

Зависимость времени соударения шаров  от параметров k и n в законе упругой силы (1) можно получить, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, в которой центр инерции шаров покоится, энергия до столкновения равна кинетической энергии относительного движения  V2/2 , где V - относительная скорость сталкивающихся шаров, а  =m1m2 /(m1+m2) их приведенная масса.

В течение столкновения относительная скорость V=dh/dt будет в начале уменьшаться до нуля. Также будет уменьшаться и кинетическая энергия, равная ( /2)(dh / dt )2 . Одновременно будет возрастать величина сжатия, которая достигнет значения h0 в тот момент, когда относительная скорость окажется равной нулю. После достижения максимального сжатия процессы пойдут в обратном направлении. Систему сталкивающихся упругих шаров можно считать замкнутой, поэтому в ней должен выполняться закон сохранения энергии, в силу которого сумма кинетической энергии -  V2/2 и потенциальной энергии - (k / n +1) hn +1 в течение деформации постоянна и равна энергии шаров до соприкосновения, то есть

. (4)

Из этого уравнения можно определить максимальное сближение шаров h0 , которое достигается, когда скорость dh/dt=0 . Получаем из (4)

. (5)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его относительно dt , получаем

Время  , в течение которого длится столкновение (т.е. h меняется от 0 до h0 $ и обратно до нуля), равно

Этот интеграл удобно взять, если ввести новую переменную

Нетрудно видеть также, что x0 - значение новой переменной в точке максимального сжатия равно 1. Имеем

Последний интеграл является табличным, его значение зависеть только от числа n . Таким образом, зависимость времени соударения от скорости приобретает следующий вид.

, (6)

где I(n) -- значение интеграла, зависящее от n .

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Вид формулы (6) подсказывает методику эксперимента для определения параметров в законе упругой силы (1). Представим формулу (6) в следующем виде

Где (7)

Прологарифмируем обе части этого выражения

Отсюда видно, что если экспериментально измерить время соударения  при различных значениях относительной скорости V и по этим данным построить зависимость ln от lnV , то она, согласно (8), представляет собой прямую линию. Причем тангенс угла наклона этой прямой равен b , а отсекаемая часть - lnA . По величине b , можно определить показатель степени n в законе упругой силы. Далее по известным значениям n и A , зная массу шаров (т.е. величину  ), можно рассчитать и значение k .

Установка для измерения зависимости  от V такова. На основании установлена колонка, на которой закреплены два кронштейна. На верхнем кронштейне закрепляются стержни, служащие для подвеса шаров. Расстояние между этими стержнями может изменяться при помощи воротка. На стержнях помещены передвижные держатели подвеса шаров. Через эти подвесы подводится напряжение к нижним подвесам, а через них к шарам. Длина подвесов может регулироваться при помощи специальных втулок с винтами. На нижнем кронштейне закреплена угловая шкала, по которой можно перемещать электромагнит и фиксировать высоту его установки.

К основанию прибора привинчен электронный секундомер, на задней панели которого находится разъем, подающий напряжение к шарам и электромагниту. На лицевой панели секундомера расположены цифровое табло, кнопка "Сеть ", а также кнопки управления "Пуск " и "Сброс ".

Электронная часть установки работает следующим образом. При нажатии кнопки "Пуск " отключается напряжение, питающее электромагнит. Правый шар, удерживаемый до этого электромагнитом под определенным углом к вертикали, отрывается от него и приходит в контакт с покоящимся левым шаром. Шары соединены с контактами блока формирования импульсов. Таким образом, в момент начала соударения происходит короткое замыкание этих контактов, и блок формирования генерирует электрический сигнал. Этот сигнал подключает к счетчику импульсов кварцевый генератор, частота которого очень стабильна и равна 1000000  1Гц , т.е. длительность одного импульса равна 1мкс. Эти импульсы, если их число меньше 999, подсчитываются счетчиком, то есть можно измерять интервалы времени до 999мкс. В конце соударения, когда шары расходятся, блок формирования вырабатывает новый импульс, который отключает кварцевый генератор от счетчика импульсов. Число импульсов, сосчитанных счетчиком за время контакта шаров, или, что то же самое, длительность столкновения в микросекундах высвечивается на цифровом табло. Если длительность контакта шаров превышает 999мкс, на лицевой панели секундомера загорается лампочка "переполнение ". При нажатии кнопки "Сброс " показания секундомера обнуляются, все электронные схемы переводятся в первоначальное состояние, прибор готов к следующим измерениям.

Таким образом, видно, что измерение времени в данной работе является прямым измерением. Систематическая погрешность измерения составляет 1мкс. Измерение скорости в этой работе, напротив, является измерением косвенным. Она о
пределяется следующим образом.

Скорость V шара в момент удара такая же, какая была у шара, падающего по вертикали с высоты H , то есть V=  2gH . Из рис.2 видно, что H=l-a , где l - длина подвеса. Но a=l cos значит H=l(1- cos ) $. Из тригонометрии известно, что 1- cos =2 sin2( /2), откуда H=2l sin2( /2) .Таким образом, . (9)

Длина подвеса измеряется непосредственно линейкой, значение отсчитывается по шкале с точностью  0,5  .

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Откорректировать установку шаров. Для этого воротком, находящемся на верхнем кронштейне, установить такое расстояние между стержнями, чтобы шары соприкасались друг с другом. Отрегулировать высоту подвеса так, чтобы центры шаров были на одном уровне.

2. Включить микросекундомер в сеть. Нажать кнопку "Сеть ". При этом на цифровом табло должны загореться нули. Кнопка "Пуск " должна быть отжата.

3. Установить электромагнит так, чтобы правый шар, удерживаемый электромагнитом, был отклонен на максимальный угол. Нажав кнопки "Сброс ", а затем "Пуск " провести пробное измерение. При этом надо проследить, чтобы соударение было центральным, то есть траектория движения левого шара после столкновения должна находиться в плоскости движения правого шара до столкновения.

4. Установить с помощью электромагнита шар под максимально возможным углом к вертикали. Не менее 5 раз провести измерение времени соударения для данного угла. Следить за тем, чтобы левый шар в момент удара не двигался. Рассчитать скорость правого шара перед соударением по формуле (9), рассчитать погрешность определения V . Провести обработку результатов измерения времени столкновения, то есть рассчитать среднее значение, среднеквадратичное отклонение, доверительные границы. Провести анализ результатов измерения времени на промах.

5. Изменяя угол подвеса шаров в диапазоне до минимально возможного провести измерение времени соударения аналогично пункту 4. Результаты представить в виде таблицы. Построить график зависимости ln от lnV .

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости ln от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости ln от lnV , введем новые обозначения x =lnV , y =ln , a =lnA . Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид

Задача состоит в нахождении таких значений a и b , при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i -го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2 . Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi) ? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b , таковы, что yi , но также нехорошо, если a и b , таковы, что yi>a+bxi . Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi , а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2 , то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0 .

В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l ), т.е.

. (11)

Метод определения констант a и b , входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.

Таким образом, надо выбрать a и b , так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b , поэтому должно было бы быть так -

Аналогично, если бы было найдено b , то -

Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b

. (12)

Величины xi , yi , xi 2 и xiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b . Решая ее любым способом, нетрудно получить

Таким образом, параметры a и b , рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.

Определив величины a и b , можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0 , характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле

. (14)

Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам

. (15)

Наконец, доверительные границы a и b параметров прямой при доверительной вероятности  рассчитываются следующим образом

то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+  )/2 и для числа точек, равного l-2 . Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10 ) при доверительной вероятности  =0.9 , то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.

Определив параметр b , можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n) . Тогда для n получаем

. (17)

Погрешность n определяется как погрешность косвенного измерения по формуле

где b вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2 .

Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a =lnA , имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.

Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл, достаточно просто берется лишь для n , кратных ½ . Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n . Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k . Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность k , зная n и a . Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.

Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.

Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h , из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Лабораторная работа >> Физика

... соударения . Общий вид прибора для исследования столкновения шаров ... зависят от упругих свойств материалов шаров . При столкновении шара с неподвижной... на угол 1. Порядок выполнения работы Измерение времени взаимодействия шаров и углов , β, γ, γ1. 1) ...

Ультразвук и его применение (2)

Научная работа >> Физика

Равновесия. В этом случае на шар действует возвращающая сила, направленная... точности расчетов. На принципе измерения времени запаздывания основана гидроакустическая локация и... таким образом, служит мерой упругости , и упругость воздуха, как и других газов...

Физические величины. Основы физики

Шпаргалка >> Физика

73 км/с. 15. Соударения тел. Упругое и неупругое взаимодействия. Абсолютно... столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями. ... классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного...

Механика, молекулярная физика и термодинамика

Учебное пособие >> Физика

... времени между событиями. где - промежуток времени между событиями, измеренный ... какую высоту поднимутся шары после соударения , если удар неупругий... шар догоняет меньший. 158. Абсолютно упругий шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся упругим шаром ...

Цель работы: ознакомиться с явлением удара на примере соударения шаров, рассчитать коэффициент восстановления энергии, проверить закон сохранения импульса.

Теоретические сведения

Отклоним шарик А с массой на угол

где и показания по шкале измерения. При этом шарик поднимется на высоту (см. рис.1). Как видно из рисунка высоту подъема можно выразить через длину подвеса и угол отклонения:

После освобождения шарика без начальной скорости он будет ускоряться и в нижней точке своей траектории приобретет горизонтальную скорость, которую можно найти из закона сохранения энергии:

В нижней точке своей траектории шарик А сталкивается с шариком В, и после очень короткого удара они разлетаются в противоположные стороны с горизонтальными скоростями и (см. рис.2). Так как во время удара силы натяжения нитей и силы тяжести, действующие на шарики, направлены по вертикали, то должен выполняться закон сохранения горизонтальной проекции импульса системы:

В большинстве случаев реальные удары тел не являются упругими из-за возникновения диссипативных сил внутри этих тел (внутреннее трение), поэтому кинетическая энергия системы в целом при ударе уменьшается. Коэффициентом восстановления кинетической энергии называется величина, равная:

Коэффициент восстановления скорости всегда меньше единицы:. Равенство единице означает полное сохранение энергии, что может быть только в идеальном случае отсутствия диссипативных сил в системе.

После столкновения (см. рис. 3) действие диссипативных сил внутреннего трения прекращается, и, если пренебречь потерей энергии во время движения из-за сопротивления воздуха, можно воспользоваться законом сохранения энергии для каждого шара в отдельности. Шар А отклонится на угол и поднимется на высоту, а шар В отклонится на угол и поднимется на высоту

Используя уравнения аналогичные уравнениям (1) и (2), выразим скорости шаров после удара:

Подставляя (2) и (5) в (4), получим выражение для расчета коэффициента восстановления энергии:

Подставляя (2) и (5) в (3), получим закон сохранения импульса в виде:

Оборудование: стойка с двумя грузами (шарами), повешенными на бифилярном подвесе.

Рабочее задание: определить коэффициент восстановления скорости тела при неупругом ударе шаров.

Порядок выполнения работы

Записать начальные положения 0 и 0, соответствующие точкам пересечения нитей бифилярных подвесов с линией деления шкалы, когда шары неподвижны. Здесь и в дальнейшем обозначение "" относится к шару А с меньшей массой m1, а "" - к шару В с меньшей массой m2.

Отклонить шар А на угол 1 от 10є до 15 и отпустить без начальной скорости. Произвести отсчет первого отброса обоих шаров 2 и 2 (так как сразу практически невозможно взять два отсчета, то поступают так: сначала берут отсчет для одного шара, затем производят повторный удар из того же положения шара А и берут отсчет для второго шара). Удар из данного положения производят не менее 10 раз, чтобы для каждого шара получить не менее пяти значений отбросов нитей после удара (2 и 2). Найти среднее <2> и <2>.

Опыт проделать для двух других значений 1. (от 20 до 25, от 30 до 35). Заполнить таблицу 1.

Проверить закон сохранения импульса (7). Для этого рассчитать скорости и по формулам (2) и (5), учитывая, что

и правую часть уравнения (7)

Результаты измерений и расчетов записать в табл. 1 и 2. Вычислить коэффициент восстановления энергии по формуле (6).

Таблица 1

Контрольные вопросы

Будет ли система шаров замкнутой?

Сформулировать закон сохранения импульса системы.

Сохраняется ли импульс системы шаров после удара? Почему?

Вид удара в данной работе. Проанализируйте полученный коэффициент восстановления энергии.

Когда полная механическая энергия системы сохраняется? Равны ли кинетические энергии системы шаров до и после удара?

Может ли в некоторой системе не сохраняться механическая энергия и оставаться постоянным момент импульса?

Получить расчетные формулы скоростей шаров после удара.

Список использованных источников

Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. - СПб.: Лань, 2007. - 432 с.- гл. II, §23, с.75-77, гл. III, §27-30, с.89-106

Лабораторная работа №1-5: соударение шаров. Студент группа - страница №1/1

доц. Миндолин С.Ф.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1-5: СОУДАРЕНИЕ ШАРОВ.
Студент____________________________________________________________________ группа:_________________

Допуск__________________________________ Выполнение _______________________Защита _________________
Цель работы: Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений. Экспериментальное определение импульса шаров до и после столкновения, расчёт коэффициента восстановления кинетической энергии, определение средней силы соударения двух шаров, скорости шаров при соударении.

Приборы и принадлежности: прибор для исследования столкновения шаров FPM-08, весы, шары, изготовленные из разных материалов.

Описание экспериментальной установки. Механическая конструкция прибора

Общий вид прибора для исследования столкновения шаров FPM-08 представлен на рис.1. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками (2), которые позволяют устанавливать горизонтальное положение основания прибора. В основании закреплена колонна 3, к которой перекреплены нижний 4 и верхний 5 кронштейны. На верхнем кронштейне крепится стержень 6 и винт 7, служащие для установки расстояния между шарами. На стержнях 6 помещены передвигаемые держатели 8 с втулками 9, фиксированные при помощи болтов 10 и приспособленные к прикреплению подвесов 11. Через подвесы 11 проходят провода 12, подводящие напряжение к подвесам 13, а через них к шарам 14. После ослабления винтов 10 и 11 можно добиться центрального соударения шаров.

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15,16, а на специальных направляющих - электромагнит 17. После отвинчивания болтов 18,19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный первого шара. К основанию прибора прикреплён секундомер FRM-16 21,передающий через разъем 22 напряжение к шарам и электромагниту.

На лицевой панели секундомера FRM-16 находятся следующие манипуляционные элементы:

W1 (Сеть)- выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения;
W2 (Сброс) – сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сбрасывание схем секундомера FRM-16.
W3 (Пуск) –управление электромагнитом. Нажатие этой клавиши вызывает освобождение электромагнита и генерирование в схеме секундомера импульса как разрешение на измерения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Упражнение №1. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента

восстановления кинетической энергии.

Для изучения неупругого удара берутся два стальных шара, но на одном шаре в месте, где происходит удар, прикрепляется кусочек пластилина.

Таблица №1.

№ опыта
1
2
3
4
5

Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара

Упражнение №2. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе.

Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.

Для изучения упругого удара берутся два стальных шара. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.

Таблица №2.

№ опыта
1
2
3
4
5

Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара
. По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.

Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара . По полученному значению отношения кинетических энергий до и после столкновения сделайте вывод о сохранении механической энергии системы во время столкновения.

Сравните полученное значение величины силы взаимодействия
с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Импульс и энергия, виды механической энергии.
Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе.
Закон изменения полной механической энергии, закон сохранения полной механической энергии.
Консервативные и неконсервативные силы.
Удар, виды ударов. Запись законов сохранения для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
Взаимопревращение механической энергии при свободном падении тела и упругих колебаниях.

Работа, мощность, КПД. Виды энергии.

- Механическая работа постоянной по величине и направлению силы

A = FScosα ,
где А – работа силы, Дж

F – сила,

S – перемещение, м

α - угол между векторами и

Виды механической энергии

Работа является мерой изменения энергии тела или системы тел.

В механике различают следующие виды энергии:

- Кинетическая энергия

- кинетическая энергия материальной точки

- кинетическая энергия системы материальных точек.

где Т – кинетическая энергия, Дж

m – масса точки, кг

ν – скорость точки, м/с

особенность:
Виды потенциальной энергии

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй материальной точки
П=mgh
особенность:

(см. рисунок)

-Потенциальная энергия поднятой над Землёй системы материальных точек или протяжённого тела
П=mgh ц. Т.
где П – потенциальная энергия, Дж

m – масса, кг

g – ускорение свободного падения, м/с 2

h – высота точки над нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

h ц.т . - высота центра масс системы материальных точек или протяжённого тела над

нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

особенность: может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от выбора начального уровня отсчёта потенциальной энергии

- Потенциальная энергия деформированной пружины

, где к – коэффициент жёсткости пружины, Н/м

Δх – величина деформации пружины, м

Особенность: всегда является величиной положительной.

- Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек

, где G – гравитационная постоянная,

M и m – массы точек, кг

r – расстояние между ними, м

особенность: всегда является величиной отрицательной (на бесконечности она принята равной нулю)

Полная механическая энергия

(это сумма кинетической и потенциальной энергии, Дж)

Е = Т + П

Механическая мощность силы N

(характеризует быстроту выполнения работы)

где А – работа силы за время t

Ватт

различают: - полезную мощность

Затраченную (или полную мощность)

где А полезная и А затр – это полезная и затраченная работа силы соответственно

ощность постоянной силы можно выразить через скорость равномерно движущегося

под действием этой силы тела:

N = Fv . cosα , где α – угол между векторами силы и скорости
Если скорость тела меняется, то различают ещё мгновенную мощность:

N = Fv мгн . cosα , где v мгн – это мгновенная скорость тела

(т.е. скорость тела в данный момент времени), м/с

Коэффициент полезного действия (КПД)

(характеризует экономичность двигателя, механизма или процесса)

η =

, где η – величина безразмерная
Связь A , N и η

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Импульсом материальной точки называется векторная величина равная произведению массы этой точки на её скорость:

Импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная:

Импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на время её действия:

Закон изменения импульса:

Вектор изменения импульса механической системы тел равен произведению векторной суммы всех внешних сил, действующих на систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов тел замкнутой механической системы остаётся постоянной как по величине, так и по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы или результирующая всех внешних сил равна нулю.

Внешними называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.

Внутренними называются силы, действующие между телами самой системы.
Для незамкнутых механических систем закон сохранения импульса можно применить в следующих случаях:

Если проекции всех внешних сил, действующих на систему, на какое-либо направление в пространстве равны нулю, то на это направление выполняется закон сохранения проекции импульса,

(то есть, если )

Если внутренние силы по величине много больше внешних сил (например, разрыв

снаряда), либо очень мал промежуток времени, в течение которого действуют

внешние силы (например, удар), то закон сохранения импульса можно применить

в векторном виде,

(то есть )

Закон сохранения и превращения энергии:

Энергия ни откуда не возникает и ни куда не исчезает, а лишь переходит из одного вида энергии в другой, причём так, что суммарная энергия изолированной системы остаётся постоянной.

(например, механическая энергия при столкновении тел частично переходит в тепловую энергию, энергию звуковых волн, затрачивается на работу по деформации тел. Однако суммарная энергия до и после столкновения не изменяется)
Закон изменения полной механической энергии:

Изменение полной механической энергии системы тел равно сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на тела этой системы.

(то есть )

Закон сохранения полной механической энергии:

Полная механическая энергия системы тел, на тела которой действуют только консервативные силы или все действующие на систему неконсервативные силы работу не совершают, не изменяется с течением времени.

(то есть
)

К консервативным силам относятся:
,
,
,
,
.

К неконсервативным - все остальные силы.

Особенность консервативных сил : работа консервативной силы, действующей на тело, не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а определяется лишь начальным и конечным положением тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная

,

Направление вектора М можно определить по правилу буравчика :

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора М.

Модуль момента силы относительно неподвижной точки
,

Момент импульса тела относительно неподвижной точки

Направление вектора L можно определить по правилу буравчика.

закон изменения момента импульса

Произведение векторной суммы моментов всех внешних сил относительно неподвижной точки О, действующих на механическую систему, на время действия этих сил равно изменению момента импульса этой системы относительно той же точки О.

закон сохранения момента импульса замкнутой системы

Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной точки О не изменяется ни по величине ни по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Если в задаче требуется найти работу консервативной силы, то удобно применять теорему о потенциальной энергии:

Теорема о потенциальной энергии:

Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии тела или системы тел, взятому с противоположным знаком.

(то есть )

Теорема о кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на это тело.

(то есть
)

Закон движения центра масс механической системы:

Центр масс механической системы тел движется как материальная точка, к которой приложены все силы, действующие на эту систему.

(то есть
),

где m – масса всей системы,
- ускорение центра масс.

Закон движения центра масс замкнутой механической системы:

Центр масс замкнутой механической системы находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

(то есть, если )

Следует помнить, что все законы сохранения и изменения необходимо записывать относительно одной и той же инерциальной системы отсчёта (обычно относительно земли).

Виды ударов

Ударом называется кратковременное взаимодействие двух или более тел.

Центральным (или прямым ) называется удар, при котором скорости тел до удара направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. (в противном случае удар называется нецентральным или косым )

Упругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся раздельно друг от друга.

Неупругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся как единое целое, то есть с одной и той же скоростью.

Предельными случаями ударов являются абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар Абсолютно неупругий удар

1. выполняется закон сохранения 1. выполняется закон сохранения

импульса: импульса:

2. закон сохранения полной 2. закон сохранения и превращения

механической энергии: энергии:

где Q – количество теплоты,

выделившееся в результате удара.

ΔU – изменение внутренней энергии тел в

результате удара
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Момент импульса твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно оси, движущейся поступательно

Основное уравнение динамики вращательного движения механической системы:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно неподвижной точки О, равна скорости изменения момента импульса этой системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно неподвижной оси Z, равна произведению момента инерции этого тела относительно оси Z, на его угловое ускорение.

Теорема Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями

Момент инерции материальной точки
,

Элементарная работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси
,

Работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси
,

Цель работы: изучение удара шаров, определение коэффициента восстановления скорости при ударе.

Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, набор шаров.

Краткая теория

Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, при котором за малый промежуток времени () происходит значительное изменение скоростей тел. Во многих случаях систему взаимодействующих при ударе тел можно считать замкнутой , т. к. силы взаимодействия (ударные силы ) превосходят все внешние силы, действующие на тела.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара . Если линия удара проходит через центры масс соударяющихся тел, то удар называется центральным .

Различают два предельных случая удара: абсолютно неупругий и абсолютно упругий.

Абсолютно неупругий удар – это столкновение тел, после которого взаимодействующие тела движутся как единое целое или останавливаются. При таком ударе механическая энергия соударяющихся тел частично или полностью переходит во внутреннюю. Тела претерпевают деформации, которые являются неупругими, и нагреваются. При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса.

Абсолютно упругий удар – столкновение, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. В процессе такого удара тела также деформируются, но деформации являются упругими. После соударения тела движутся с различными скоростями. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.

Абсолютно упругий удар – идеализация. При столкновении реальных тел механическая энергия к концу взаимодействия восстанавливается лишь частично, вследствие потерь на образование остаточных деформаций и нагревание.

Степень упругости удара характеризует величина
, называемаякоэффициентом восстановления скорости.

При центральном ударе
определяется выражением

, (1)

где
относительная скорость тел до соударения,
относительная скорость тел после соударения.

Коэффициент восстановления скорости зависит от упругих свойств материала соударяющихся тел. Для абсолютно упругого удара
= 1, для абсолютно неупругого
= 0, для реальных ударов0 <
< 1 (например, при соударении тел из дерева
0,5, из стали0,55, из слоновой кости0,9).

В данной лабораторной работе изучается центральный удар двух металлических шаров и определяется коэффициент восстановления скорости.

Установка для изучения соударения шаров схематически изображена на рисунке 1. Она состоит из основания1 с регулируемыми опорами, на котором закреплена стойка 2 с двумя кронштейнами. На верхнем кронштейне 3 расположен механизм закрепления бифилярных нитей-подвесов 4 для шаров 5 . На нижнем кронштейне закреплены измерительные шкалы 6 , проградуированные в градусной мере . На правой шкале находится электромагнит 7 , который может перемещаться вдоль шкалы и фиксироваться в определенном положении.

Пусть два шара одинаковой массы
висят на нитях одинаковой длины, касаясь друг друга (рис. 2). При отклонении правого шара (шар1 ) от положения равновесия на угол он приобретет потенциальную энергию
(
высота поднятия центра масс шара,
ускорение свободного падения). Если шар отпустить, то при возвращении шара к положению равновесия его потенциальная энергия полностью перейдет в кинетическую.

По закону сохранения механической энергии

, (2)

где
скорость шара1 при достижении им положения равновесия (перед соударением с шаром 2 ).

Из формулы (2) следует

. (3)

Высоту можно выразить через(угол отклонения) и(расстояние от точки подвеса до центра масс шара). Из рисунке 2 видно, что
, т. е.
. Так как
, то

. (4)

Подставляя формулу (4) в (3), получим
. Если уголмал, то
и, следовательно,

=
. (5)

Аналогичные формулы можно получить для и
─ скоростей шаров после соударения:

,
, (6)

где и

Подставив в выражение (1) значения ,,
(формулы (5),(6)) и, учитывая, что шар2 до соударения покоился, т. е. = 0, получим

. (7)

Таким образом, для определения коэффициента восстановления скорости необходимо при заданном угле измеритьи
углы отклонения от вертикали нитей-подвесов шаров после удара.