Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:
,
,
Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.
Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.
Пример 1.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:
После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:
.
Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.
Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию
то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:
Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y:
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f"x и f"y определены и непрерывны в некоторой окрестности UM0 точки M0(x0y0). Кроме того, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности UM0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x0, причем y(x0)=y0.
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z"x, z"y.
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
11.Использование частных производных в геометрии.
12.Экстремумы функции двух переменных.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.
Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).
Аналогично
определяется точка минимума функции:
для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0),
из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется
неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).
На рисунке 210: N1 - точка максимума, а N2 - точка минимума функции z=ƒ(x;у).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0)=0.
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ"(х0) = 0, т. е. ƒ"x(х0;y0)=0.
Аналогично можно показать, что ƒ"y(х0;у0) = 0.
Геометрически равенства ƒ"x(х0;у0)=0 и ƒ"y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).
Замечание.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных
не существует. Например, функция
имеет
максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не
имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f"x=0, f"y=0, называется стационарной точкой функ ции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z"x=у и z"y - х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f""xx(x0;y0), В=ƒ""xy(х0;у0), С=ƒ""уy(х0;у0). Обозначим
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
ЗАДАЧИ
1.
Пример.
Найти
промежутки возрастания и убывания
функции .
Решение.
Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции
.
В нашем примере выражение в знаменателе
не должно обращаться в ноль,
следовательно, .
Переходим
к производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2
,
а знаменатель обращается в ноль при x
= 0
.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Таким
образом,
и
.
В
точке x
= 2
функция
определена и непрерывна, поэтому ее
следует добавить и к промежутку
возрастания и к промежутку убывания. В
точке x
= 0
функция
не определена, поэтому эту точку не
включаем в искомые интервалы.
Приводим
график функции для сопоставления с ним
полученных результатов.
Ответ:
функция
возрастает при
,
убывает на интервале (0;
2]
.
2.
Примеры .
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .
Найдем y "" и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y " = –2x , y "" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
y = e x . Так как y "" = e x > 0 при любых x , то кривая всюду вогнута.
y = x 3 . Так как y "" = 6x , то y "" < 0 при x < 0 и y "" > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.
3.
4. Дана функция z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка А(3,2). Найти dz/dl (я так понял производная функции по направлению вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Найдем частные производные: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Найдем значения производных в точке А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откуда, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0^2)=11 Производная функции z по направлению вектора l: dz/dl=z(по х)*cosa+z(по у)*cosb, a,b-углы вектора l с осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.
Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F (x , y ) = 0, где F (x , y ), F " x (x , y ), F " y (x , y ) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х , у ), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x , y ) = 0, F " y (x , y ) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную
Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F " y
(x
, y
) > 0. Так как производная F " y
(x
, y
) непрерывна, то можно построить квадрат [х
0 - δ" , х
0 + δ" , у
0 - δ" , у
0 + δ" ], чтобы для всех его точек было F " y
(x
, y
) > 0, то есть F
(x
, y
) является монотонной по у
при фиксированном х
. Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у
= f
(x
), такой, что F
(x
, f
(x
)) º 0.
Зададим приращение Δ х
. Новому значению х
+ Δ х
будет соответствовать у
+ Δ у
= f
(x
+ Δ x
), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F
(x
+ Δ x
, y
+ Δ y
) = 0. Очевидно, что
Δ F = F (x + Δ x , y + Δ y ) − F (x , y ) = 0
и в этом случае
.
Из (7) имеем
.
Так как неявная функция у = f (x ) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем
.
Что и требовалось доказать.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть частные производные функции z = f (x , y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у , определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М ) в этой точке и обозначаются следующими символами
Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.
Дифференциалы высших порядков
Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):
δ (d y ) = δ [f " (x ) d x ] = [f " (x ) d x ] " δ x = f "" (x ) d (x ) δx .
Дифференциал δ (d y ) от дифференциала dy в точке x , взятый при δx = dx , называется дифференциалом второго порядка функции f (x ) в точке x и обозначается d 2 y , т.е.
d 2 y = f ""(x )·(dx ) 2 .
В свою очередь, дифференциал δ(d
2 y
) от дифференциала d
2 y
, взятый при δx = dx
, называется дифференциалом третьего порядка функции f
(x
) и обозначается d
3 y
и т.д. Дифференциал δ(d
n-1 y) от дифференциала d n
-1 f
, взятый при δx
= dx
, называется дифференциалом n
- го порядка (или n
- м дифференциалом) функции f
(x
) и обозначается d n y
.
Докажем, что для n
- го дифференциала функции справедлива формула
d n y = y (n ) ·(dx ) n , n = 1, 2, … (3.1)
При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1
d n −1 y = y (n −1) ·(dx ) n −1 ,
и функция y (n -1) (x ) дифференцируема в некоторой точке x . Тогда
Полагая δx = dx , получаем
что и требовалось доказать.
Для любого n
справедливо равенство
или
т.е. n - я производная функции y = f (x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.
Производная по направлению функций нескольких переменных.
Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М 0 с направляющим вектором
Определение 1. Производная функции u = u (x , y , z ) по переменной t называется производной по направлению l
Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).
Она обозначается и равна
Известно, что функция y= f(x)может быть задана неявно с помощью уравнения, связывающем переменные х и у:
F(x,y) =0.
Сформулируем условия, при которых уравнение F(x,y )=0 определяет одну из переменных как функция другой. Справедлива следующая
Теорема (существования неявной функции) Пусть функция F(x,y )=0 удовлетворяет следующим условиям:
1) существует точка P˳(х˳,у˳), в которой F(x˳,y˳)=0
2) F’y(x˳,y˳)≠ 0
3) функции F’x (x ,y )и F’y (x ,y ) непрерывны в некоторой окрестности точки
P 0 (x 0 ,y 0).
Тогда существует единственная функция y =f (x), определенная на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющая при любом х из этого интервала уравнениюF(x,y)=0 , такая что f(x 0)= y0
Если у есть неявная функция от х , то есть она определяется из уравнения F (х , у ) = 0, то, предполагая, что у есть функция от х , мы получаем тождество F (х , у (х )) = 0, которое можно рассматривать как константу-функцию. Дифференцируя эту константу-функцию, получим:
Если в этом соотношении , то можно найти .
Дифференцируя соотношение (1) ещё раз, получим:
Соотношение (2) можно рассматривать как уравнение для определения второй производной. Дифференцируя соотношение (2) ещё раз, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.
Производная по направлению. Вектор направления для случая двух и трех переменных (направляющие косинусы). Приращение функции по заданному направлению. Определение производной по направлению, ее выражение через частные производные. Градиент функции. Взаимное положение градиента и линии уровня в данной точке для функции двух переменных.
Производной z’I по направлению I функции двух переменных z=f(x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆I при стремлении последней к 0: z’i=lim∆iz /∆I
Производная z’ I характеризует скорость изменения функции в направлении i.
Если функция z=f(x;y) имеет в точке М(x;y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению, исходящему из точки М(x;y), которая вычисляется по формуле z’i=z’xˑcosα+z"yˑcosβ,где cosα, cosβ- направляющие к4осинусы вектора .
Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами f’x, f’y. Обозначается z=(f’x,f’y) или .
Производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора, задающего направление I.
Вектор z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.
Частные производные f’x и f’y представляют собой производные функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей Ox и Oу.
Пусть z=f(x,y)- дифференцируемая функция в некоторой области D, M(x,y) . Пусть I – некоторое направление (вектор с началом в точке М),а =(cosα;cosβ).
При перемещении в данном направлении I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функция z получит приращение ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) называемое приращением функции z в данном направлении I.
Если MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следовательно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.
Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:
Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными